张量分析与连续介质力学-构建力学专业和结构仿真进阶基石

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导读：前不久，我的《结构动力学》和《材料力学》视频课程在仿真秀官网独家上架后，近日我的《张量分析与连续介质力学》视频课程也完美上线了，用户可以通过这门课程系统地学习张量分析与连续介质力学的基本理论和高级概念，掌握描述物理现象的基本方法和工具，为后续的物理学习和研究打下坚实的基础。希望为力学与有限元分析学习者提供理论帮助，如有不当，欢迎专家学者批评指正。

一、什么是张量分析

我们知道，张量分析与连续介质力学是两个紧密相连的数学与物理领域，它们各自具有独特的定义和应用，同时又在某些方面相互交织。

其中，张量分析是数学中的一个重要分支，主要研究张量场的微分运算。张量是多路或多维阵列表示，是矩阵的扩展，可以看作是多重线性映射。张量分析是用共变微分表示几何量和微分算子性质的运算方法。

张量分析起源于超复数理论和四元数理论，后经过多位数学家的发展，爱因斯坦在广义相对论中进一步推动了其发展。张量分析的核心内容包括张量的定义、基本性质、运算规则和在不同坐标系下的变换。张量间可进行加法、乘法等运算，结果仍为张量。此外，它还包括克里斯托费尔符号、协变微分、逆变矢量与协变矢量等重要概念。

目前张量分析在微分几何、物理学（如相对论、电磁学等）和数据科学（如数据挖掘、机器学习等）等领域有广泛应用。以下是我讲课的部分PPT。

二、神秘的连续介质力学

连续介质力学是研究连续物质的物理性质和行为的学科。它将物质看作由连续的物质点填充而成，而不是由原子或分子组成。

当前，连续介质力学在工程、物理、数学等领域有广泛应用，包括流体力学、弹性力学、塑性力学等分支。具体来说，它在工程领域的结构分析、地震工程、航空航天、土木工程等方面有重要应用；在物理领域的流体力学、弹性力学、塑性力学等方面也有广泛应用；此外，它还应用于天体物理学中的星系动力学、宇宙气体动力学等领域，生物学中的血液动力学、神经传导等方面，以及环境科学中的流体动力学、水文学、气候学等领域。

连续介质力学涉及到大量的数学公式和推导，因此需要具备微积分、线性代数、张量分析等数学基础。

三、张量分析在连续介质力学中的应用

在连续介质力学中，张量分析是一种重要的数学工具。它用于描述和分析在不同坐标系下的物理量和几何量的变化规律。例如，在连续介质力学中，应力张量场和应变张量场是常见的张量场。通过张量分析，可以研究这些张量场的性质、变化规律以及它们之间的相互作用。此外，张量分析还可以用于推导连续介质力学的控制方程，并求解这些方程以预测物质的物理行为。

《张量分析与连续介质力学核心理论与实践技能20讲：描述物理现象的基本方法和工具》视频课程旨在帮助用户系统地学习张量分析与连续介质力学的基本理论和高级概念，掌握描述物理现象的基本方法和工具，为后续的物理学习和研究打下坚实的基础。

本课程为付费用户提供VIP群交流、答疑服务、持续加餐内容、提供定制化培训和咨询服务、仿真人才库高新内推就业、仿真秀还提供奖学金、学完此课程，推荐学习者报名参加工信部教考中心认证的——工程仿真技术（CAE分析职业能力登记评价证书）。

1、课程大纲安排

《张量分析与连续介质力学核心理论与实践技能20讲：描述物理现象的基本方法和工具》

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2、课程内容简介

3、课程中所涉及到的知识点

（1）微积分：微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

（2）线性代数：线性代数是数学的一个分支，主要处理线性关系问题。内容包括向量、向量空间、矩阵、行列式、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等。

（3）矢量分析：矢量分析是数学的一个分支，主要处理矢量场（如速度场、力场等）的微分和积分运算。内容包括矢量、矢量场、梯度、散度、旋度等。

（4）常微分方程：常微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的方程。它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。

（5）指标记法、不变性记法

指标记法：一种用数字表示矢量或张量的分量的方法。
不变性记法：一种强调物理量在不同坐标系下保持不变的表示方法。

（6）张量定义、度量张量、置换张量

张量：一个多维数组，用于描述物理量在不同坐标系下的变换关系。
度量张量：描述空间中两点间距离的张量。
置换张量：用于交换矢量分量的位置的张量。

（7）连并和缩并、二阶张量的特征值、不变量

连并：两个张量按一定规则相乘得到新的张量的运算。
缩并：通过求和减少张量阶数的运算。
二阶张量的特征值：满足特征方程的标量值。
不变量：在张量变换下保持不变的量。

（8）张量分量与物理分量、Christoffel符号

张量分量：张量在不同坐标系下的具体数值。
物理分量：具有物理意义的张量分量。
Christoffel符号：用于表示二阶协变导数（或曲率）的符号。

（9）协变导数、Hamilton算子

协变导数：在流形上定义的导数，考虑了坐标变换的影响。
Hamilton算子：也称为梯度算子，用于表示矢量场的梯度。

（10）张量的梯度、散度、旋度

梯度：描述标量场变化快慢和方向的矢量场。
散度：描述矢量场在某点附近是否汇聚或发散的物理量。
旋度：描述矢量场在某点附近是否旋转的物理量。

（11）连续介质力学部分

物质导数：描述物理量在随流体运动时的变化率。
变形张量及应变张量：描述物体变形程度的张量。
运动学关系：描述物体运动和变形之间关系的方程。
变形梯度、速度梯度：描述物体变形和速度变化的张量。
应力张量：描述物体内部应力的张量。
守恒定律：包括质量守恒、动量守恒、动量矩守恒和能量守恒。
Piola-Kirchhoff应力张量：一种用于描述物体内部应力的张量。
本构方程原理：描述物体应力-应变关系的方程。
简单物质、弹性物体、牛顿粘性流体、粘弹性物质：不同类型的物质模型。

4、适合谁学

对于张量分析与连续介质力学课程的试听人群，主要包括以下几类：

（1）理工科学生：特别是物理学、工程学、材料科学等相关专业的学生，这门课程是他们深入学习的重要领域，有助于他们掌握描述物理现象的基本方法和工具。

（2）研究人员：在物理学、工程学等领域的研究人员，需要运用张量分析与连续介质力学的理论和方法进行更深入的研究和探索，这门课程可以为他们提供必要的理论基础和工具。

（3）工程师：在航空航天、水利工程、地质工程等领域工作的工程师，需要运用这些理论来解决实际问题，提高工程的可靠性和安全性。这门课程可以帮助他们更好地理解和应用这些理论。

（4）对连续介质力学感兴趣的读者：无论是否从事相关领域的工作或学习，只要对连续介质力学有浓厚的兴趣，都可以学习和探索这一领域。这门课程可以为他们提供一个入门和深入学习的机会。

此外，一些教师、学者或专业人士也可能出于教学、研究或职业发展的需要，选择试听这门课程。

总的来说，试听人群广泛，包括学生、研究人员、工程师以及对连续介质力学感兴趣的读者等。他们可以通过试听这门课程，了解课程的内容和教学方法，从而决定是否继续深入学习。

5、参考教材

[1] 张量分析及其在连续介质力学中的应用，张耀良，朱卫兵，哈尔滨工程大学出版社

[2] 张量分析，黄克智等编，清华大学出版社

[3] 连续介质力学基础，熊祝华，傅衣铭，熊慧而，湖南大学出版社

[4] 非线性连续介质力学基础，匡震帮，西安交大出版社

[5]张量分析与连续介质力学，美.W.Flugge，白铮释

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来源：仿真秀App

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首次发布时间：2025-01-16

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