一百零一、Fluent湍流模型详解-雷诺平均方法：Spalart-Allmaras模型(一方程)

我们在前文介绍了湍流模型的分类，今天这篇文章主要介绍湍流模型的其中一个分类--雷诺平均方法，由于雷诺平均分为了很多模型，为了让文章说的尽可能详细清楚，本文主要介绍雷诺平均方法的由来，同时介绍一方程理论及其在Fluent中的应用。

湍流模型分类介绍可参考文章：九十九、Fluent湍流模型详解-湍流模型的分类

注：本文涉及了很多方程，但我尽量用通俗易懂的方式解释说明，因此可能会造成语言上不够严谨。

雷诺平均方法Reynolds-Averaged Navier-Stokes简称为RANS，是最常用的一类模型。其通过对湍流的瞬时流场进行时间或统计平均，从而简化了NS方程。

1.1 瞬时值、平均值与脉动值

湍流流动中，物理量f的瞬时值在空间和时间上均是随机波动的，但在宏观层面又会出现一定的有序性。因此湍流场中的物理量f的瞬时值可以分解为统计平均值和脉动值的叠加：

其中的f表示瞬时值，f-表示平均值，可以为时间平均或空间平均，f‘表示脉动值，即瞬时值相对于平均值的偏差。

由于脉动是随机的，因此对脉动值进行平均等于0，这一性质会大幅简化对雷诺平均NS方程。上面的平均方法即为雷诺平均方法。

1.2 雷诺平均NS方程(RANS)

 

雷诺将NS方程中的瞬时值都用平均值加上脉动值代替，对于速度

当然，除了速度，压力也需要用平均值和脉动值表示。带入NS方程后，可以得到雷诺平均的NS方程

我们对比瞬时的NS方程和雷诺平均NS方程，会发现雷诺平均NS方程反而多了一项，这一项就是我们常说的雷诺应力项。

从形式上看，瞬时的NS方程看起来比雷诺平均NS方程还要简单，雷诺平均NS方程简化在哪里？？？既然RANS都能求解，为什么不直接求解瞬时NS方程？？？

1.3 RANS方程的简化

虽然瞬时NS方程形式上更简单，但由于湍流的瞬时值是每时每刻每地都在变化的，这意味着瞬时NS方程要求网格和时间步长足够小，以分辨湍流中所有尺度。这需要极高的计算资源，几乎无法满足工业应用和大规模工程问题的需求。

我们在前文九十九、Fluent湍流模型详解-湍流模型的分类中介绍过，直接求解瞬时NS方程，在一个0.1m×0.1m大小的高雷诺流动区域中，包含尺度范围在10-100μm的涡，需要的网格节点数高达10^9-10^12 ，即1亿-1000亿网格，当湍流的脉动频率为10kHZ，其所需的时间步长为100μs以下。

Re=55000时方形柱体周围湍流流场的DNS模拟结果，网格数量：25.80亿‍

而RANS方程中大部分都是平均物理量，通过求解平均流场，可以避免直接计算湍流的瞬时波动，极大降低了计算规模。

同时工程问题关心的通常也是流场的平均特性（如平均速度场、压力分布等），因此RANS方程能够满足绝大多数工程问题的精度要求，同时降低计算成本。

我们已经获得了RANS方程了，那直接求解不就行了吗？为什么还要引入零方程、一方程、二方程······呢？？？

实际上，瞬时NS方程中并不包含任何额外的未知项，也就是说瞬时NS方程和质量守恒方程、能量守恒方程是封闭的，联立可以直接求解。

比如三维不可压缩流不考虑能量方程，虽然方程很复杂，但是我们只看几个方程几个未知量。

质量守恒方程(一个方程)：

NS动量方程(三个方向上，三个方程)：

质量守恒方程1个，动量守恒方程3个，共有4 个方程。未知量有u，v，w和压力p，由于不可压，因此密度作为物性参数是已知量(如果可压，则需要补充理想气体状态方程)。所以共有4个未知量。4个方程、4个未知量，方程是封闭的。

但雷诺平均NS方程引入了雷诺应力项

这一项表达了湍流脉动对平均流动的影响，同时增加了额外的未知量即脉动速度。

未知量变多了，方程不封闭了，如何求解呢？？既然多出来雷诺应力项，只要把雷诺应力项用已知量表示出来就行了。不同的人有不同的表示方法，这就是n-方程的由来。n-方程的目的就是表示出雷诺应力项，从而使RANS方程组封闭

1877 年，Boussinesq提出涡黏性模型，是一种湍流半经验理论。Boussinesq参考在层流流动中，不可压缩流体的粘性应力与应变率存在线性关系，提出了雷诺应力公式

其中，公式中的μt就是湍流粘度，k就是我们经常说的湍动能，δij是Kronecker delta 函数，i=j 时，δ ij =1；i≠j 时，δ ij =0。湍动能公式：

可以看出，方程中只有两个未知量及湍动能和湍流粘度。那就是说，接下来我们就只需要确定湍流粘度μt和湍动能k就行了。

实际上一方程、二方程、三方程等都是围绕湍流粘度和湍动能的求解来构建的，需要几个微分方程来确定湍流粘度和湍动能就称为几方程。

Spalart-Allmaras模型是一种最典型的一方程模型，其假设湍流粘度和修正湍流粘度有关(v~)：

其中，v为运动粘度。现在需要确定的就是修正湍流粘度(v~)了。Spalart-Allmaras模型通过输运方程来确定修正湍流粘度。

其中，Gv表示湍流粘度的生成项

已知湍流粘度了，湍动能怎么求解呢？？Spalart-Allmaras 模型中不计算湍流动能 k，因此在估计雷诺应力时会忽略公式最后一项，即

由此，只需要一个微分方程就能够确定雷诺应力项，因此Spalart-Allmaras模型是一种一方程。

Fluent湍流模型内置了Spalart-Allmaras模型。简单介绍一下这个界面。

注：

• 实际上，如果不是专门研究Spalart-Allmaras模型，所有保持默认即可。相反，如果你修改了一些参数或者选项，那就要说出合理的理由。

• 如果不需要修改参数，下面的介绍不必仔细看，大概知道就行

5.1 Spalart-Allmaras Production栏设置

首先是Gv公式(湍流粘度的生成项)

其中S就由Vorticity-Based和Strain/Vorticity Based两种模型来确定

• Vorticity-Based：默认选项，由Spalart和Allmaras提出，认为S 基于涡量的幅值确定

5.2 Model Constants栏设置

即Spalart-Allmaras模型的常数设置，一般都不需要修改。勾选Vorticity-Based时的参数如下

如果勾选Strain/Vorticity Based的话，就会多出来一个Cprod参数

5.3 Options设置

在以下典型场景中需要考虑曲率修正

流线曲率：发生在弯道、旋转机械（如叶轮或涡轮机）或复杂几何结构中的流动。

系统旋转：包括地球自转引起的科氏力（如大气和海洋中的湍流）、离心力引起的旋转湍流等。

在实际应用中，例如弯管流动、旋转机械和大气湍流中，曲率修正极大地提高了模拟结果的精度

勾选Curvature Correction后需要CCURV参数，这个参数用来修正曲率的，默认为1.0。可以通过UDF宏DEFINE_CURVATURE_CORRECTION_CCURV来定义。

即下面公式的Ccurv，一般情况保持默认即可

• Corner Flow Correction：与Curvature Correction类似，Corner Flow Correction主要针对像矩形通道、非圆形截面管道以及机翼-机身交汇处这样的几何结构，由于会出现一种垂直于主流方向的二次流动，需要对其进行修正

同样地，勾选这一选项，会引入CCORNER参数设置，默认为1.0，一般不需要更改，可以使用UDF宏DEFINE_CORNER_FLOW_CORRECTION_CCORNER修改。

很多湍流模型都对y+有一定的要求，y+的重要性不必多说，y+的概念可以参考文章：一文说清楚Fluent壁面函数(Y+)和近壁面处理

Spalart-Allmaras模型最初是一个低雷诺数模型，要求y+接近1 。但Fluent对这部分进行了拓展，使得Spalart-Allmaras 模型对 y+ 不敏感。当 y+较小时，公式自动切换为粘性子层的壁面处理；当 y+较大时，切换为对数层公式。

虽然如此，但使用Spalart-Allmaras 模型时还是要保证边界层最少要有10-15层网格，从而能够精确求解。

Spalart-Allmaras模型专为空气动力学流动设计，用来模拟涉及壁边界流动的航空航天项目，并已被证明对承受逆压梯度的边界层能给出良好的结果。同时在涡轮机械应用中Spalart-Allmaras模型使用的也较多。

但Spalart-Allmaras模型未针对一般工业流动进行校准。在某些自由剪切流中，尤其是平面和圆形射流流动中，该模型会产生较大误差。Spalart-Allmaras模型还无法准确预测均匀各向同性湍流的衰减情况。

所谓自由剪切流是指在没有固体边界约束的情况下，由不同速度的流体相互作用而产生的流动。比如射流(飞机发动机喷口产生的高速气流)、涡流尾迹(汽车行驶时在尾部产生的尾迹流动)