我所理解的张量：不变量的偏导
之前说到过一些张量计算的基础，这里说一下计算力学中常用的一些张量的偏导如何计算，今天说一说不变量的偏导。
在计算力学中，特别是推导本构关系、运动方程等的时候，我们经常会用到一些张量的偏导的形式，今天说几个我认为最为常见的。首先我们了解一下不变量，不变量的含义是指无论在任何坐标系的情况下，一个张量的这些值是不变的，所以比如在本构关系中推导中，我们一般情况情况想是想用一个与坐标系无关的公式来定义一些东西，所以这些个不变量就非常重要。在计算力学中，这里一般是指二阶张量的不变量（比如应力、应变），我们一般有三个不变量，第一不变量，对应的就是张量矩阵的迹（trace）
第二不变量对应的是：
而第三不变量对应的是张量矩阵的行列式：
那么我们以应变矩阵为例
他的三个不变量可以分别写为
那么我们基于上述这些看看这些的偏导，首先张量矩阵的第一不变量对于其本身求偏导可得：
其原因在于由于 为一个矩阵的迹，所以他对于矩阵 求偏导，只有对角线的元素即 的时候为1，其余的时候都为0，这也符合我们之前说的“求导是升阶的”，trace是个0阶段张量（标量），而 为2阶张量，故上述求导结果为二阶张量。
对于第二不变量，这里我们引入两个偏导数
其中第一个简单易得，第二个大家可以通过写成分量的形式自行推导，总的来说也比较直接。 那么第二不变量对于其本身的偏导可得
而对于第三不变量，我们有
即对于行列式的偏导等于行列式乘以原矩阵逆的转职，此证明相对有些繁琐，大家可以参考文献1中（1.357）-（1.360）。
那么说了这么多这玩意有啥用呢？我们来看一下一个最为简单的超弹性模型，简单版本的Neo-Hookean，其定义应变能函数，表示为
大家可以理解应变能就是应力乘上应变，那么通过求对该应变能对应变的偏导，我们就可以得到应力：
再对应力求应变的偏导，我们就可以得到本构：
那么在上述 为根据测试得到的给定常数的情况下，为了分析在非线性分析中根据当前应变计算应力，并计算切线刚度矩阵（得到本构张量），我们对 进行一阶与二阶的偏导，就需要用到上述对于应变张量各个不变量的偏导公式，非常的有用。可以说是通向材料本构计算的起点。
最后说一下，我当年学张量分析的时候总想着：这些东西有啥用？ （大学上课很多时候只是就事论事，只讲理论）后来学了材料计算、单元计算、运动学这些后，回过头来看，才发现这些真有有，希望我的文章能让大家早一些发现这些基础都是后续推导的必要拼图。
参考文献：
