我所常用的材料：Mises塑性2
接上回：我所常用的材料：Mises塑性
上次已经说到，应变变化率与应力变化率之间的关系
由于这里 与当前的应力状态相关，硬化系数 也与当前的应力状态相关，总的来说我们需要在单元积分点处根据其应变增量得到其真实的应力状态，通常采用迭代的方法确定真实的应变增量，具体可以分为两个类型的方法：
向后Euler法 （需要积分点级别的Newton迭代） 向前Euler法
一般来说对于显式分析我们可能采用向前欧拉法，根据当前的应力状态，应变增量逐步计算出来应力增量，而不进行残差方面的校核（或只在最后进行一个简单的修正）。而一般对于隐式分析，我们则一般采用向后Euler方法，这里也重点介绍这个。
现在我们认为有如下的公式：
其中 代表着第 步的应变、应力状态， ，为第 步骤的试应力，也就是说未必是真实的，需要进行修正，后边的 则就是对其的修正，具体可以结合上图理解为，我先试着用当前的应变与上一步的塑性应变进行一个试应力的计算，不行我再沿着n方向修正回来，这里的n为一个2阶张量，在上一期中又说，对于Mises塑性就为f的梯度。 那么现在结合着最开始的塑性公式 ,
在仅考虑Isotropic hardening的情况下（强化因子可以由应力应变状态之后计算出来，而Kinematic则不行，这里先以Isotropic hardening为例，比较简单），那么我们有7个未知数，7条公式 （应力有6个公式， 有1个），且是个非线性方程组（ 与当前的应力状态相关），那么我们可以将上述方程联立进行Netwon-Raphson求解
在牛顿法中经典的思路就是对函数的变量求偏导，乘上变量的增量，去逐步的减少残差，以直代曲，所以我们有：
最后得到
这样通过逐步的迭代，消除残差，当 的时候，最终我们就得到了 步的应力、应变、弹性应变、塑性应变状态。而这样计算出来的应力应变才是我们有限元计算中塑性材料应力应变的由来，而并不是给定一条材料曲线直接去根据材料曲线查表。
所以大家可以看到对于Mises塑性材料的非线性分析，这里是有两个Newton-Raphson迭代的，外层的迭代进行整体级别的迭代，计算 , 而内层的迭代发生在每个单元积分点级别，通过迭代确定每个积分点处真实的应变应力状态，进而基于这个真实应力应变状态才能确定全局级别的切线刚度矩阵。而对于后续的切线刚度矩阵有consistent与continumm之分，下次再说说这个。
