亚松弛因子的数学物理含义及设置建议

本文讨论一下 Fluent 中亚松弛因子（Under-Relaxation Factors）的数学物理含义，以及如何进行设置。

1 亚松弛因子的数学含义

在 Fluent 以及其他基于迭代求解器的 CFD 软件中，求解偏微分方程（例如纳维-斯托克斯方程）通常是通过迭代的方式进行的。每一次迭代，软件都会计算出新的变量值，并用这些值来更新当前解。然而，如果直接使用新计算出的变量值来更新当前解，可能会导致以下问题：

• 震荡或发散： 特别是当变量的梯度较大时，直接更新可能会导致计算结果在每一次迭代中大幅度波动，甚至发散，无法收敛到稳定的解。
• 收敛速度慢： 有些情况下，即使没有出现发散，直接更新也可能导致收敛速度非常慢，迭代很多次都无法得到稳定的结果。

•    ：新变量值，指的是本次迭代后变量的值。
•    ：旧变量值，指的是上一次迭代后变量的值。
•    ：计算值，指的是本次迭代根据方程计算出来的变量值。
•    ：亚松弛因子，一个任意指定的介于 0 和 1 之间的系数。

从这个公式可以看出，亚松弛因子的作用是将计算值和旧值之间的差值（即更新量）按比例缩小。例如：

• 如果亚松弛因子为 1，则表示完全采用计算值来更新，相当于没有亚松弛。
• 如果亚松弛因子为 0.5，则表示只采用计算值更新量的一半。
• 如果亚松弛因子接近 0，则表示更新量非常小，更偏向于保持上一次迭代的结果。

2 亚松弛因子的物理含义

从物理的角度理解，亚松弛因子可以看作是引入了一个“缓冲”或“阻尼”机制，其限制了变量更新的速度，使其在迭代过程中更加平缓，避免由于计算误差或不稳定而产生的剧烈波动。

更具体地说，亚松弛因子可以解释为：

• 对时间步长的隐式调整： 在时间相关的问题中，减小亚松弛因子可以看作是隐式地减小了时间步长，从而提高了计算的稳定性。
• 对流场的稳定： 在高雷诺数等复杂流动问题中，流动往往是不稳定的，亚松弛因子可以帮助稳定计算过程，抑制数值振荡。
• 对源项的限制： 在一些包含源项的方程中，亚松弛因子可以防止源项的剧烈变化导致的不稳定。

3 Fluent中的亚松弛因子

Fluent 中针对不同的变量都提供了相应的亚松弛因子，并且默认设置通常是有效的。然而，在一些特殊情况下，用户可能需要调整它们。以下是一些建议：

默认值：

• 压力 (Pressure): 0.3 ~ 0.5
• 速度 (Velocity): 0.5 ~ 0.7
• 动量 (Momentum): 0.3 ~ 0.7 (通常和速度相同)
• 湍动能 (Turbulent Kinetic Energy, k): 0.5 ~ 0.8
• 湍流耗散率 (Turbulent Dissipation Rate, ε): 0.5 ~ 0.8
• 标量 (Scalars): 0.8 ~ 1.0 （例如能量、组分等）

调整建议：

• 高雷诺数流动: 对于高雷诺数的湍流，特别是分离流动，可能需要降低压力和速度的亚松弛因子，甚至低至 0.2 或更低。
• 强源项: 如果方程中包含很强的源项，例如化学反应或多相流动，可能需要降低相关变量的亚松弛因子，以避免计算不稳定。
• 网格质量差: 如果网格质量较差，例如存在较大的倾斜度或纵横比，可能需要降低所有变量的亚松弛因子。
• 收敛困难: 如果迭代过程中出现收敛困难（例如残差振荡不收敛），可以尝试降低压力和速度的亚松弛因子。
• 收敛缓慢: 如果收敛速度太慢，可以尝试适当增加标量等变量的亚松弛因子。
• 首先调整压力： 如果要进行调整，通常建议首先调整压力亚松弛因子，因为压力是速度场的驱动因素。
• 逐渐调整： 建议不要一次性大幅度调整亚松弛因子，而是逐渐地调整，并观察计算结果的变化。
• 从较低的值开始： 如果不确定如何设置，可以从较低的值开始（例如 0.2），然后逐渐增大，直到找到合适的平衡点。

在 Fluent 中，可以通过双击模型树节点Solution > Controls 打开任务页设置亚松弛因子，需要注意的是，该任务页中的设置项目与用户选用的物理模型有关。

4 注意事项

• 因子不宜设置过低： 过低的亚松弛因子会导致收敛速度过慢，甚至可能导致计算结果不准确。
• 具体问题具体分析： 最佳的亚松弛因子设置取决于具体的流动问题、网格质量和所用的求解器。
• 经验积累： 调整亚松弛因子需要一定的经验积累。通过不断地尝试和观察，可以找到最适合特定问题的设置。