Abaqus 线性动力学(2) - 模态分析(1)

1. 模态分析

当结构受到干扰而偏离其静态平衡位置时，在没有任何动态激励的情况下，可以以一个或多个固有频率进行自由振动。

该振动特性与初始位移和速度无关，仅取决于结构的刚度和质量。当无阻尼时，该自由振动是由初始位移产生简谐振动：

模态分析就是用于确定无阻尼结构的固有频率和对应的模态形状（振型），这是进行线性动力学分析的基础。

线性动力学的矩阵方程为

当仅考虑结构的固有振动特性时，去掉载荷 P 项，同时，不考虑阻尼，则运动方程为：

由简谐振动，可将节点加速度向量可以重写为

则无阻尼自由振动的运动方程可以改写为：

只有当矩阵方程的行列式等于零时，才有可能得到非平凡解，因此无阻尼运动方程的特征方程为：

所求得的 λ 值即为特征值。

由特征值可求得结构的固有频率 f（特征频率）：

将特征值代入特征方程，可求得对应于特征值的节点解 𝜙，称为特征向量，也称为特征模态。

具有N个自由度的系统包含 个特征值和特征向量。任何一组 𝑁 个独立向量都可以用作表示任何其他 𝑁 阶向量的基。因此，位移向量 𝑢 可以用模态展开式来表示

但需要注意的是，特征向量节点自由度（即位移）的大小没有唯一的物理意，仅表示结构在相应的特征值下进行自由振动时的相对形状。

在有限元分析中，通常会对特征向量节点值进行归一化处理。在 Abaqus 中提供两种归一化方法：

1）位移：最大节点自由度设置为 1，这仅适用于传统架构。

2）质量：特征值的广义质量设置为 1，这适用于 SIM 和传统架构。

2. Abaqus 特征值求解器

对于特征值的求解技术，一般可以分为三类：直接法、迭代法和缩减法。

1）直接法：非常适合需要所有特征值的小型系统。Abaqus 中不提供直接法。

2）迭代法：非常适合只需要小部分特征值的中等型系统，计算成本取决于自由度的总数和提取的特征值的数量。

3）缩减法：非常适合需要大量特征值的超大型系统。

针对不同的求解技术，Abaqus 提供三种特征值求解器：子空间； Lanczos；AMS。

1）子空间特征值求解器：使用迭代法，用于只需提取少量模态的情况；通常用于特征值屈曲分析。

2）Lanczos 特征值求解器：使用迭代法， Abaqus 中默认的特征值计算方法，对于中等大小的模型很有效。

3）AMS 特征值求解器：使用缩减法，对于大型模型，提取大量模态时非常有效。

通常以100万自由度为限制，系统自由度在100万以下，使用 Lanczos 即可；在100万以上则建议使用AMS。

3. Abaqus 中定义模态分析步

1. 创建分析步，【Procedure type】项选择【Linear perturbation】；

2. 选择【Frequency】，即模态分析；

3. 选择特征值求解器类型，可根据实际问题模型大小和需要提取的特征值数量，结合上述特征值特点进行选择；

4. 定义要提取的特征值的阶数，通常只需要考虑结构的低阶振动模态。