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流体力学理论如何指导水处理设备的设计优化?

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引言
纯数学视角下,纳维-斯托克斯方程的全过程推导(以下简称“前文”)介绍了流体力学中最基本也是最重要的方程——纳维-斯托克斯方程的推导过程,但因为该方程考察的对象是流体微元,所以较为“抽象“。若能将其”具象化“,则能更好地为广大环保工程界人士所接受,而伯努利方程就是这“具象化”的结果。  
本篇文章介绍了伯努利方程推导及对水处理的影响,是对纳维-斯托克斯方程做了一次小小的“延伸”,并用“延伸“的内容来指导实践。  

一、 由纳维-斯托克斯方程导出伯努利方程

前文末尾给出了不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程:

式中:u、ρ、p和η分别表示流体速度、密度、压强和动力粘度;g为重力加速度;
因为方程(1-2)中有速度关于时间的偏导数,所以难以仅在空间尺度上对其进行积分处理。但如果考察的对象是定常流场,那么速度关于时间的偏导数项就为0,以上方程组就简化为如下形式:
方程(1-3)和(1-4)就是不可压缩流体在定常流场下的纳维-斯托克斯方程,伯努利方程可以以此作为基础导出的。
建立一个三维笛卡尔直角坐标系,令其z轴正方向同重力方向相反,如图1.1所示。
图1.1 坐标系示意图(z轴正方向同重力方向相反)
在流线上取一个线段微矢dl:
式中:i、j和k分别为x方向、y方向和z方向上的基矢。
流线上任意一点处的流体微元的流速均满足:
式中:ux、uy和uz分别为速度u在x方向、y方向和z方向上的分量。
为线段微矢的长度;
为流体微元的运动速率。
将式(1-6)代入(1-5)可得:
现在将方程(1-4)的等号的左边沿着流线l进行积分:
式中:u(1)和u(2)分别表示流线起点和终点处的流体微元的流速。
在这里需要说明的是:要积分出(1-8)必须沿着流线,即必须凭借关系式(1-6)将线段微矢dl写成(1-7)的形式,否则对方程(1-4)等号左边的积分将不可进行。
再将方程(1-4)的右边沿着流线l进行积分:
式(1-8)和(1-9)应相等,即:
整理后得:
其中:
方程(1-10)就是伯努利方程,其各项的物理意义是明确的。因为z轴正方向跟重力方向相反,所以方程中的z表示的就是“高度”。
伯努利方程本质是能量守恒方程。方程(1-10)的适用对象是不可压缩流体的定常流场。再次说明下:本文后续所讨论的流体均仅限于不可压缩流体。
如果流体是理想化的,即动力粘度η=0,则方程(1-10)化为:
伯努利方程也可以从“功能关系“进行推导:
得:
式中:dV=dxdydz,表示流体微元的体积;Wτ表示黏性应力对流体微元做的功。其各项的物理意义也是明确的。其中黏性应力对流体微元做负功而使流体的内能增加。
将方程(1-12)处理后便可得到同方程(1-10)一样的形式。

二 、直管内流体做满管层流时的特点

2.1 物理场景

有一根直管,其断面几何形状保持不变(不做特别说明均以此为准,下同),里面有流体以满管层流的状态做定向流动。现在建立一个三维笛卡尔直角坐标系,以管道内流体流动方向作为x轴正方向,如图2.1所示。需要说明的是,在本章场景下z轴正方向不一定跟重力方向相反。
图2.1 坐标系示意图(x轴正方向同流体流动方向相同)
由层流的定义可得:
由流体不可压缩可得:
由(2-1)和(2-2)可得:
2.2 速度场的特点
在流场内的任意位置作一个矩形ABCD,AD边和BC边的长为l且同x轴平行,AB边和CD边的长为dy且同y轴平行,如图2.2所示。
图2.2 速度场分析-微矩形示意图
同一时刻,可以基于A点的速度分别沿A→B→C和A→D→C两条路径积分得出C点速度:
式中:上标小括号中的字母表示空间点位。
根据式(2-3)可得:
结合式(2-4)~(2-6)可得:
因为A点和D点拥有相同的y坐标和z坐标,又因为矩形的位置和其长度是任意给定的,所以可得:
同理可得:
2.3 压力场的特点
在流场内的任意位置取一个流体微元并在x、y和z三个方向上进行受力分析,
式中:dV=dxdydz。因为层流状态下流体微元只可能在x方向上有速度和加速度,故而第二第三个方程的等号右边为0。
基于式(2-1)~(2-3)和前篇给出的黏性应力本构方程(5-11),可得本场景下的黏性应力表达式如下:
将黏性应力表达式(2-10)代入力平衡方程组(2-9),再结合式(2-7)和(2-8),可得:
在流场内的任意位置作一个矩形ABCD,BC边和AD边的长为dx且同x轴平行,AB边和CD边的长为l且同y轴平行,如图2.3所示。
图2.3 压力场分析-微矩形示意图
同一时刻,可以基于A点的压力分别沿A→B→C和A→D→C两条路径积分得出C点压力: 
根据方程组(2-11)可得:
结合式(2-12)~(2-14)可得:
因为A点和B点拥有相同的x坐标,又因为矩形的位置和其在y方向上的长度是任意给定的,所以可得:
同理可得:
式(2-15)和(2-16)表明:在圆管的任意断面上压力p在x方向上的偏导数是处处相等的
2.2和2.3节中的结论同时适用于定常流和非定常流。
2.4 圆形直管内流体做定常流动时的速度场方程
现在将以上场景做进一步的限定:管道断面为圆形(若没有特别说明,则以下所说的圆管均指圆形直管);定常流。
以圆管的中轴线作为x轴、水流方向作为x轴正方向、管道的某一个断面作为极坐标平面建立一个圆柱坐标系。再以管道的中轴线作为中心转轴、r(r<r,r< em="">为圆管内半径)为半径、dx为长度取一个矮圆柱体,如图2.4所示。
图2.4 受力分析考察对象-矮圆柱体示意图(左视&正视)
因为在圆管的断面上流场必呈圆对称分布,又因为式(2-3)(即流速与x轴坐标值无关),所以ux为关于r的单值函数,即:
流场的这种分布特点也会使得上述矮圆柱体侧面受到的剪应力τx(r)处处相同,其表达式应为:
基于牛顿第二定律对该圆柱体进行力平衡分析可得:
由式(2-17)代入方程(2-18)可得:
再写出速度方程的积分形式:
式中:ux(cn)表示中轴线上的流体流速。
因为管壁静止而速度梯度不可能无限大,所以无限接近管壁处的流体流速为0,那么:
将方程(2-19)代入(2-21)即可求得ux(cn)的表达式:
再将方程(2-22)连同(2-19)代入(2-20),即可求得任意位置处的流体流速的表达式:
这说明了:当圆管内流体处于满管层流状态时,断面上的流体流速呈旋转抛物面式分布,如图2.5所示。
图2.5 圆管内流体处于满管层流状态时的速度分布示意图
基于“同心圆环”,将速度场方程(2-23)关于断面积分即可求得流量Q:
断面平均流速u(ave)即为流量除以断面面积:
将方程(2-24)代入(2-23)即可求得ux关于流量Q的表达式:
对比(2-22)和(2-25)可得出结论:圆管内流体处于满管层流状态时,中轴线处的流体流速是断面平均流速的两倍。
最后再计算下断面的动能流率(单位时间内通过断面的动能)。
因为在断面上速度场呈圆对称分布,所以依旧通过对“同心圆环”的积分来计算动能流率
式中:ek表示动能流率;ρ·2πrdr·ux表示的是单位时间内通过以圆管中轴线为圆心、r为半径、dr为宽度的圆环的流体质量。
将式(2-26)代入(2-27)并计算得:
2.5 圆管内流体做定常流动时的沿程阻力损失方程
由方程(2-24)和(2-25)可知:
将(2-29)沿着水流方向(流线)积分可得:
式中:D表示圆管的内直径;l表示流体流经的圆管的长度;
将方程(2-30)按伯努利方程(1-10)的形式书写:
式中:上标“(1)”和“(2)”分别表示的是流线的起点和终点;l=x(2)-x(1)
因为当流体在等径圆管内做定常层流时流线上流速处处相等,所以方程(2-31)没有体现动能项,其等号右边表示的就是流体流动时产生的阻力损失(即机械能损失),即:
式中:Δpf中的下标“f”表示阻力损失是“沿程”的而非“局部”的,何为“沿程”、何为“局部”,第三章会有相关说明。
方程(2-32)就是圆管内流体处于满管层流状态时的沿程阻力损失方程。需要注意的是:当流体处于湍流状态或流体流经非等径直管段时方程(2-32)便不再适用。
基于该方程不难看出当需要传输的流体流量一定时,流体的沿程阻力损失同管径的4次方呈反比,即当管径加粗后,流体的阻力损失可以大比例下降。

三 、伯努利方程的运用解析

3.1流体的阻力损失

方程(2-32)描述的是流体在圆管内满管层流时的阻力损失,当流体确定时,流体的沿程阻力损失大小由其流量、管道的内径和管道长度所决定。以上文字中,“圆形“、”直管“、”内径“、“长度”都是描述管道几何形态的词汇,不妨将管道所有的几何形态的集 合称为”管路特性“。显然,当流体确定时,无论是层流还是湍流、直管还是非直管,均可以将阻力损失的影响因素概括为流量和管特特性这两者,即:
式中:H表示管路特性;Δpf表示流体在直管内流动的阻力损失,即沿程阻力损失;Δpj表示流体流经弯头、三通、大小头、阀门等的阻力损失,统称为局部阻力损失;Δpf和Δpj的加和就是全部的阻力损失Δpw。
在实际工程项目中,监测流体的流量相对容易,但度量管路特性则相对困难。只有在很特殊的场景下才能用纯理论方程来定量描述阻力损失,比如方程(2-32)成立的前提条件必须包括:“牛顿流体”、“不可压缩流体”、“层流”、“直管”、“圆管”、“满管”。对于常见的管件或流道,比如弯头、三通、大小头、“突然缩小”等,则可以查一些流体力学的工具书来获得经验公式。而一些特殊的管件或流道是没有现成的方程可以使用的,这时如果要定量就必须依赖实际测量。
3.2 层流
有如图3.1所示的场景:管路体系包括了:圆管→弯头→圆管→弯头→圆管→大小头→圆管;圆管内的流体是水(水可认为是不可压缩流体)、水满管、流量为Q、流态为定常层流,图中虚线表示流线、箭头方向为水的流动方向。
以图1.1的方式建立坐标系,即z轴正方向同重力方向相反。
图3.1 管路体系剖视图
在管道中任取一条流线作为考察对象。流线起点在断面1处,终点在断面2处。对该流线列出伯努利方程:
式中:上标“(1)”和“(2)”分别表示断面1和断面2,即流线的起点和终点。
由于单独考察一条流线对于实际工程没有直接的指导意义,所以需要对方程(3-2)进行积分以将伯努利方程拓展到整个断面,而积分后的方程描述的就是流体总体的能量守恒:
如同方程(2-27)那样,方程(3-3)也是基于对“同心圆环”的积分,积分上限R表示的是管道的内半径。“2πrudr”的物理意义是单位时间内通过以管道中轴线为圆心、r为半径、dr为宽度的圆环的流体流量。
基于方程组(2-11)可知压力p在断面上是呈阶梯线性分布的,位能ρgz也是,所以:
式中:上标小括号中的“cn”表示相应的物理参数对应于中轴线处,而“1”和“2”依旧表示断面位置。
结合(3-4)中的4个积分关系式以及表示断面上动能流率的方程(2-27)、(2-28),即可将方程(3-3)积分为如下形式:
其中:
方程(3-5)即为流体在圆管内做满管层流时的伯努利方程。α暂且称其为“流态修正系数”,它的取值跟断面上的速度分布有关,在层流状态下取2;u(1ave)和u(2ave)分别表示断面1和断面2上的平均流速;Δpw(ave)表示流体的平均阻力损失。
在水处理项目中压力表测量的都是管壁处的压力,如果要获得p(1cn)和p(2cn)的值,则需要将因测压点同中轴线之间存在高差而产生的水压差考虑在内,如图3.2所示。如果当管壁和中轴线上的压差对方程整体的平衡影响较小时,则可以直接用压力表的读数代替p(1cn)和p(2cn)。
图3.2 管道断面剖视-压差示意图
3.3 湍流
如第一章所述,要导出伯努利方程必须要满足流场是定常流这一前提条件,而在湍流状态下流线时时刻刻都在改变,所以严格上讲并不符合定常流。但是能量守恒定理作为物理学中最基本的定理显然也适用于湍流。如果图3.1中的水的流态不是层流而是湍流,但流量Q是恒定的,那么依旧可以用方程(3-5)来描述流体的能量守恒,这是因为在不太小的时间和空间尺度内,断面1和断面2上的平均压力、平均动能流率以及流体从断面1流到断面2的阻力损失均可以看作是一定的。
但需要注意的是,在湍流流态下,流速在断面上的分布不再呈旋转抛物面形式,而是在大部分的区域内没有明显差别,只在靠近管壁的区域有明显的速度梯度(如图3.3所示),所以将方程(3-5)用于湍流流态时,α的取值将在1~2之间,湍流越剧烈,则其越趋近于1,反之则越趋近于2。
图3.3 在层流和湍流状态下速度在断面上的分布示意图

四、 某水处理设备的压力失衡问题

这里笔者简单介绍下曾经在实际的水处理项目中遇到的一个问题。

图4.1 设备结构正视图
某水处理设备的外形示意图(正视图)如图4.1所示,其基本特点如下:
(1)设备运行时有四股水自下而上进入其中,从左到右依次记为A、B、C和D,每一股水都会流经:入水管道、布水区、隔室、汇水区和出水管道;
(2)设备外形为长方体,从图4.1上看,设备的结构在上下方位和左右方位均是对称的。①从上下方位看,对于每一条流道,其布水区和汇水区、进水管道和出水管道的结构分别是完全一样的;②从左右方位看,流道A和流道D、流道B和流道C的结构分别是完全一样的,但流道A和流道B的结构,无论是入水管道、布水区、隔室、汇水区还是出水管道,均是不一样的,其中以布水区和汇水区尤甚。
(3)隔室与隔室之间由薄膜来分隔。
(4)在四条进水管道上会分别设置压力表监测水压,这四个压力表的测压点等高。
(5)出水管最终会跟大气相连通,即水的压力最终会变为0。
(6)设备在正常运行时,水在整个流道内都呈现湍流状态。
基于上述第(3)条,因为薄膜本身的机械强度低,所以在设备运行时要求所有隔室里的水压保持一致,而厂家是通过上述第(4)条里提及的压力表的读数来监控的,即如果四个压力表的读数一样,则认为四个隔室里的水压一样。
然而在设备运行的过程中,有一个现象出现的频率很高,即:隔室A和隔室B之间和隔室C和隔室D之间的薄膜经常出现内收现象,示意图如图4.2所示。
图4.2 薄膜内收示意图(照片中实物为抹布)
出现内收的薄膜容易在折痕处损坏,进而影响设备的正常运行,所以厂家开始寻找对策。
有两条处理路线,即“对因”和“对症”。如果要对因治疗,那首先要找到出现该现象的根本原因。最初厂家自行分析未果后去咨询日本专家,日本方给出答复说“内部有负压”,使得外面的大气压将薄膜往里推(但只要了解流体力学的基本理论就知道产生负压是不可能的),但关于如何解决负压日本方没有提具体措施(至少笔者没听说他们有提)。对因处理无果就只能对症处理。在对症方面思路是明确,既然薄膜内收,那么就通过一定的方式(此处不展开)在薄膜的四周施加额外的力来阻止其内收。一些措施实施后虽有一定的效果但均不是非常理想。
接下来说说笔者对这个问题的分析:
物体发生形变的原因只有一个——力!简单细分的话可以分为两类:(1)“间接力”:温度不均匀而引起热胀冷缩;(2)“直接力”:机械力、电磁力、重力等等。结合薄膜本身的性质和所处环境的温度情况,可以排除“间接力”因素。所以可以认定是“直接力”的作用。因为薄膜轻质,所以不可能是重力引起的。电磁力也可以排除(出于不过多透露设备信息这里不展开说明)。最终只剩下机械力,也就是水的压力,准确说就是薄膜两侧的水压不一样大。
笔者给出了自己的判断后,厂家的技术人员表示不解,因为他们认为入水管道上的压力表的读数始终是一样的(假定压力表是准确的),所以隔室里的水压也是一样的。这时要进一步解释,就必须用到流体力学里的基本理论。
图4.3 断面1和断面2示意图
以隔室A和隔室B所处的流道作为对比考察对象,将压力表测压点所在管道断面作为断面1、隔室的中位线作为断面2(如图4.3所示),对两个断面间的流道以(3-5)的形式分别列出伯努利方程。
式中:物理量的下标中的“A”和“B”分别表示流道A和流道B;上标中的数字“1”和“2”分别表示断面1和断面2;因是湍流,所以α取值1.2(具体取值多少在这个场景下是无关紧要的);因为断面2是一个水平面,所以无论是压力p还是高度z,均无需区分是否在中轴线上,也就无需在上标上注明“cn”了。
根据设备的基本特点和断面的选取有(忽略两入水管道的管径的差异):
结合(4-3),将方程(4-1)和(4-2)相减得:
显然,“pA(2)-PB(2)”就是隔室A和隔室B在中位线处的压差。
因为流道A和流道B在两个断面间的部分(包括入水管道、布水区和隔室)的结构有较大差异,也就是说两者的管路特性有较大差异,所以初步判定ΔpwA(ave)和ΔpwB(ave)有较大差异。而实际运行时流道内流速一般不超过2m/s,所以方程(4-4)的等号右边、加号左边的动能项不是压差的主要贡献项,关键在于阻力损失项,即:
综上,虽然测压点上压力表的读数是一致的,但是两隔室在中位线处的压力却会有较大差异。这不小的压差将薄膜往压力较小的隔室推(产生横向位移,如图4.4所示),使得其长边靠中部的位置被拉向内部,即上面所说的“内收”。
图4.4 薄膜产生横向位移的示意图
 再以同样的方式去考察流道B和流道C。由于两者的管路特性完全一致,所以当它们的压力表读数一样时,两个隔室内的压力就处处一致。
另外,在跟厂家的几位技术人员交流的过程中发现他们对流速与压力之间的关系的理解是非常片面的。流速对压力而言没有绝对的意义,而伯努利方程以简洁的数学语言展现了各因素是如何影响压力的。
将设备拆开并仔细观察薄膜的状况后,笔者断定隔室A中的压力低于隔室B。那么要提高隔室A内的水压有三种策略:
(1)在不改变管路特性的情况下,单纯提高A侧的流量。采取这种策略的话,会出现这样的情况:隔室A中位线处的压力升至和隔室B的一样的时候,A侧压力表的读数必会高于B侧(解释从略)。
(2)在维持A、B两个压力表读数一致的情况下,在隔室A的出水管道上增加管道阻力。采取这种策略的话,A侧的流量必会下降(解释从略)。
(3)以上两种策略的混合。
如果采用策略(1),流量要提高到多少?如果采用策略(2),阀门开度要调小到多少?这两个问题的答案爱因斯坦也无法给出,因为对这种流道极为特殊(设备内部的流道)、流态又是湍流的体系,是没有现成的方程能定量计算其阻力损失的,那么这时所谓的“经验”就会扮演起重要的角色。
笔者在某一个项目上采用了策略(2),即将A侧出水管道上的球阀的开度调小(大约从全开旋小了近30度)。运气非常好,一次性将内收状况彻底解决了,这也验证了前期理论预判的正确性。
从对因角度要彻底解决这个问题,单一个项目的经验显然是不够的。厂家后续可以围绕下面两个维度去做考虑:
(1)入水管道和出水管道上测压点的选取和压力值的设定;
(2)流量的确定;
因为流量同压力相关联,所以不可将以上两个维度完全割裂开来。开展工作的第一步是调整设计,合理选取测压点并加装必须的压力表和阀门;第二步是采集现场数据,数据必须准确且越多越好,这一步非常重要;第三步是将数据分析、归纳和总结,最终形成“经验“。而对数据的分析、归纳和总结,依旧需要回归到伯努利方程中去!
从对症角度,除了上面提到的“通过一定的方式(此处不展开)在薄膜的四周施加额外的力来阻止其内收“之外,还有一个容易被忽视的点。
现在再来捋一捋内收的逻辑和过程:①隔室A和隔室B之间的薄膜的两侧有明显的压差;②在压差作用下薄膜被推向隔室A;③薄膜中间部分产生了横向位移,如图4.4所示;④薄膜四周被拉向内部,即产生了“内收”。
设想,即便膜两侧有压差,但薄膜中间部分不会产生横向位移,那么薄膜会内收吗?显然不会(可以想一想,某些项目中隔室B和隔室C之间也有明显的压差,但为何没有内收)。那么这里就带出了另一个问题:在设计设备的时候,是出于什么原因特意加大了隔室A的流道宽度?如果维持当下的流道宽度,是否能在流道结构上做文章,使得薄膜横向位移的空间被压缩甚至消除?而如果减小流道宽度,薄膜的横向位移空间会被压缩,其内收的风险会降低,但是否同时会产生其它方面的问题?本文重点讲述理论,设计方面的内容笔者就不展开论述了。

五、小结

伯努利方程作为写进本科化工原理教材的方程之一,自然在实践中有着广泛的运用。除了考察对象为水的场景外,它也能处理气体,来预估生化曝气系统的曝气均匀性。

文章转载自公 众号“北斗数学与物理”,作者周枫

来源:多相流在线
湍流电磁力理论管道
著作权归作者所有,欢迎分享,未经许可,不得转载
首次发布时间:2024-12-26
最近编辑:13小时前
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