《Mechanics of Solid Polymers》4.11.1热弹性材料的本构方程
4.11.1 热弹性材料的本构方程
线性动量守恒： 
角动量守恒：
热力学第一定律：
热力学第二定律：
方程(4.212)-(4.215)中的本构函数需要满足所有这些控制方程才能有效。这些要求可以通过首先在方程(4.196)中求解R/θ0，然后将结果代入方程(4.196)来简化：
项-Div(Q/θ0)可以通过展开散度算子来简化：
将其代入方程(4.216)得到：
在处理热弹性材料时，通常使用亥姆霍兹自由能(Ψ)比使用内能(e0)更方便。单位参考体积的亥姆霍兹自由能定义为：
从Ψ的定义，我们可以求解e0：
将方程(4.220)代入方程(4.218)得到：
如方程(4.212)-(4.215)所示，热弹性材料的本构方程由以下函数形式给出：
将方程(4.224)代入方程(4.221)得到：
这也可以写成：
这个方程必须对所有过程都有效，因此对于F、Ḟ、θ、θ̇、Grad θ0和d(Grad θ0)/dt的所有可能值和历史都成立。
如果我们考虑一个θ̇0 = 0且d(Grad θ0)/dt = 0的过程，那么熵不等式（方程(4.226)）变为：
这个方程对所有Ḟ都必须成立，因此第一Piola-Kirchhoff应力必须等于亥姆霍兹自由能对变形梯度的偏导数：
最后，如果我们考虑一个Ḟ = 0且θ̇0 = 0的过程，熵不等式（方程(4.226)）变为：
这个方程对所有θ̇0都必须成立，因此单位参考体积的熵必须由亥姆霍兹自由能对温度的偏导数给出：
最后，如果我们考虑一个Ḟ = 0且θ̇0 = 0的过程，熵不等式（方程(4.226)）变为：
为了使这个关系对任何d(Grad θ0)/dt的值都成立，显然Ψ̂不能依赖于Grad θ0，即：
将方程(4.228)、(4.230)和(4.232)代入方程(4.226)，我们最终得到熵不等式：
这简单地表明热量必须沿着温度梯度的方向流动。总之，热弹性材料的本构行为完全由两个函数Ψ̂(F, θ0)和Q̂(F, θ0)确定。其余场变量可以从这两个函数确定：
从这些方程中，我们还可以确定其他应力度量的表达式。例如，从方程(4.145)，我们得到柯西应力可以由亥姆霍兹自由能确定：
对于许多材料，热流率Q通常使用傅里叶热传导方程描述[18]：
如果热传导率张量K是正定的，那么熵不等式（方程(4.233)）总是满足的。
还有许多其他类别的材料模型可以定义和使用。以下两个例子展示了两种简单情况。更高级的模型在后续章节中讨论。
例子
绝热热弹性材料的定义为没有热流（q = 0），并且柯西应力（σ）、单位体积内能（ec）和单位体积熵（ηc）仅依赖于变形梯度和温度：
对于这种材料，如果满足以下条件，则热力学第二定律得到满足：
也就是说，对于这种材料，只需要一个热弹性函数。
例子
等温热弹性材料的定义为热流和熵增为零，并且柯西应力（σ(F)）、内能（ec）仅依赖于F。对于这种材料，如果满足以下条件，则热力学第二定律得到满足：
在这种情况下，亥姆霍兹自由能和内能变得相等。
