我所常用的单元：壳单元

从事数值仿真、计算物理、计算力学等等相关专业的大家，可能从本科或者研究生开始学习张量分析，我当年学这些的时候就感觉极为痛苦，特别是若干年后看到一本书上，将张量列为“高等数学启蒙小丛书“，再回想当年学习的时候的痛苦经历，我觉得结合我这些年跟张量日夜斗法过程中一些自己对它的理解，可以帮助大家更好的也更轻松的理解张量。今天就以此为开端，给大家说一说我所认为的张量，后续会持续更新的。首先我认为为啥会有张量呢，原因就在于人类本性都很懒，所以尽可能的减轻自己的工作量，科学家也懒，所以在写公式的时候想少写一些，所以为了方便与满足自己懒惰的意愿，张量就诞生了。我们看一下我们通常用的矩阵形式来表示应力：而如果用张量的形式来表示应力张量：这样就很简单，ei与ej分别是两个基准向量，这里可以理解为两个"轴"，两个方向向量，比如直角坐标系下的x,y,z轴。这里向量也叫一阶张量，其实也很好理解，因为向量可以表示成一个数（标量）与基准的乘积的形式。那么，我们就可以很天真的认为，向量这种有一个下标的就是个1阶张量，应力这种有两个下标的就是2阶张量，那么有3个下标的是不是就是3阶张量，依此类推，也确实是这样的。那么到现在，科学家为了懒惰而作的努力达到了，可以用一种统一方式表示很多不同的内容。那这个东西未来能方便做研究呢，原因就在于刚刚提到的“轴”，由于科学家在研究中“轴”是变的，基向量是变的。我每次学到这我就想起秦始皇统一度量衡的故事。这里我们可以一起看一下，假如小明身高1.8m，那么他的身高是多少英尺呢，讲到这里大家可能已经明白了，小明的身高自始至终就是那么高，但是在不同的度量体系下那个数值是不一样的。那么推广到高维的几何世界，我们有直角坐标系x,y,z三个方向，我们同样也可以用三个不互相垂直的e1,e2,e3方向向量来表示这个宇宙，当然带来的与之匹配的也就是前边那个带有下标的（标量、矩阵）里面数值不一样，但这个宇宙还是这个宇宙，小明还是小明。这里提一句，张量还跟爱因斯坦有关系，大家都听过广义相对论，“时空“的概念，就是说世界和时间也是有关的，浅显的说你面前的东西，有x,y,z还有个时间t，x,y,z还和时间t有关系，那么也就引入了通常我们所说的“时空”有四个“轴”x,y,z,t，然后张量的表示形式就更为重要了，这里先按下不表，后续详述。那么一个n阶张量就可以这么表示：无论我们怎么改变这里的ei,ej....,这个张量本身是不变的，也就是很多人说的客观的，那么其实我们就可以用不同的形式表达这个自始至终一直在这的物理量（位移、应力、应变、温度梯度、曲率），我们都熟悉的坐标变换，其实也可以认为是这个其中的一种方式，当然这里我们不要求“轴”互相垂直，也不要求“轴”都是单位长度。以下是计算几何和计算力学中一些比较常见的张量，后面我们会一个接着一个用到他们的，并会说到张量表达的好处：1阶：节点位移2阶：应力、应变3阶：位移-应变张量，也就是有限元书中经常用的那个B矩阵4阶：本构，也就是表达应变与应力关系那东西我平时工作中好像没用到更高阶的张量，所以就到这，之后会有张量计算等内容，敬请期待。来源：大狗子说数值模拟