有限元基础知识：沙漏控制

上回说到缩减积分的作用，单元计算基础知识：缩减积分

我们可以看到自锁，缩减积分，沙漏效应有着辨证的关系，那么如何在享受缩减积分带来的好处但同时避免沙漏效应呢？今天来说一说对于沙漏控制的办法。

对于四边形或者六面体单元（低阶），使用缩减积分进行计算，只在单元的中心点放1个积分点，这个时候由于只采用单元中点处进行应变计算就很容易出现沙漏现象（如下图所示，各种零能模式）。我们可以通过两种方式避免或者减轻沙漏现象：

1. 使用高阶单元
2. 在出现沙漏后进一步细分网格

但总的来说上述两种方法”治标不治本“，都属于对于对问题本身的一种规避，更为广泛的则是对于低阶四边形六面体引入沙漏控制的方法，广泛应用的沙漏控制方法有以下3种：

1. Viscous
2. Stiffness
3. Enhanced

这三种在Abaqus中均相应的对应，其中Viscous故名思意是针对速度项进行修正，引入阻尼进行修正，常用于显式计算；而Stiffness则是通过引入沙漏刚度的方式对刚度项进行修正，更多的应用于静力学等场景。而Abaqus中的Combined则是通过一定的系数采用Viscous与Stiffness的组合进行沙漏控制。

Abaqus中对于低阶单元且材料为线弹性、超弹性、hyperfoam默认采用Enhanced的方法进行沙漏控制，由于这些材料应用极为广泛，我们今天也就着重说一下Enhanced沙漏控制。

Enhanced沙漏控制之所以有这个名字源自于其是一种基于Enhanced Assumed Strain（EAS）的刚度修正方法，对于有限元中的Assumed Strain这里提一句，Assumed就是假定的意思，你可以认为是将应变当作未知量，相对应也有Assumed stress则是将应力当作未知量，而我们通常意义上的有限元可以叫Assumed displacement（当然我们一般不提这个），然后根据Hu-Washizu原理（简单的理解就是可以引入混合的未知量建立变分公式）建立变分公式，如下所示：

我们假设应变为：

   为采用缩减积分后的位移-应变矩阵，首先引入    对应变进行修正，考虑由于缩减积分的引入造成的与全积分相比的差异项，另外可以看到这里由于一个额外的    项的引入，使得其与非协调单元的计算有些类似。而这里最后也是采用EAS（Enhanced assumed strain）的老路子建立一个“约束方程”：

使得    只是内部自由度而并不会出现在全局矩阵中。通过上述公式引入    于    的贡献，就可以有效的避免自锁的同时避免沙漏效应。对于上述具体的公式推导可以参考文献[1]。

与其他沙漏控制方法相比，该方法为具有线弹性材料的粗网格提供了更精确的位移解。它还为非线性材料提供了更高的抗沙漏性能。

好了今天对于沙漏控制就说到这里，未来跟大家分享更多的单元技术。

参考文献：

1. Puso, M.A., “A highly efficient enhanced assumed strain physically stabilized hexahedral element,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 49, 2000