有限元基础知识：偏导、方向导数、微分与变分

在用仿真软件的时候很多朋友都用过缩减积分这个单元选项，诸如Abaqus中针对实体的C3D8R，C3D20R与针对壳的S4R，S3R等，那么缩减积分究竟有啥用呢，我们今天来就来说说。其实缩减积分顾名思义，就是在计算单元积分的时候采用更为低阶的积分形式。那么这里先简述一下一些数值积分，有限元中一般会用到的两种积分形式：Gauss积分，积分点与单元节点并不重合，在一个方向上n个积分点可以最高准确积分2n-1阶，一般用于各种单元积分；Simpson积分，积分点与单元节点有重合，在一个方向上n个积分点可以最高准确积分n-1阶，一般来说比较常用的是在壳的的厚度方向，原因在于Simpson的积分点以直接表示壳顶面、底面、中面位置的应力应变情况，而Gauss积分由于积分点与上下表面均不重合虽然精度高，但无法更方便的输出结果。在有限元中最为常用的就是上述Gauss积分。有限元中很多自锁问题的源头则是应变的阶数“过高”，就是本不需要这么高阶数的应变，诸如铁木辛柯梁中，一阶四边形、六面体中，故可以通过减少各个方向上的Gauss积分点的方式，在积分阶段在不改变原有公式的情况下降低阶数，提高计算精度。我们以一阶四变形单元为例，其单元积分是这个样子其中i是循环n个积分点依次计算，为权重，为位移应变矩阵，而为材料矩阵。那么由于四边形插值函数中会有xy项的存在，所以B的阶数为1阶，整体需要积分的阶数为2阶，根据高斯积分的特性，我们可以确定其在每个方向上理论需要2n-1>2，也就是n>2个点来精确积分，所以理论上我们需要2x2个积分点，而缩减积分中，我们减少积分点个数，每个方向使用1个积分点，1x1也就是一共就1个积分点。所以你可以认为缩减积分是对原公式一种近似，但这种近似算出来的结果却是更为准确。然而缩减积分由于其通过修改积分阶数的方式在一定程度上改变了单元矩阵，在一定程度上刚度矩阵的一些优秀的特性丢失了，很大的一个问题就是会造成零能模式这种现象，也就是单元变形很厉害，然而却没有任何应变能，也就是造成了我们通常所说的沙漏现象。其实这个过程也好理解以这一个单元为例，由于采用了缩减积分，故原有的2x2的积分点变为1个积分点且置于单元正中心，而对于上述变形情况单元中心处的应变就是0，所以计算过程中该单元没有任何应变能，但是却变形很大。而这样的单元往往会造成连锁效应，如果一大片都是缩减积分单元，且相对规则，则会明显出现沙漏现象很多人不明白为啥这叫沙漏现象，其实原因就是它长得像沙漏，看上下两个单元长得多像这玩意：这种现象一般会发生在1阶的缩减积分单元上，那么下一次我们就讲一下如何控制沙漏现象。而缩减积分还有一个非常有用的用处，因为显式动力学计算中无需组装整体刚度矩阵并进行矩阵求解，效率的卡点主要就是单元计算，所以诸如将积分点由4个变成1个那么则直接会造成4倍的效率提升，而这种在3D模型上则更为明显，想象一下从8个积分点变为1个那直接就是8倍的效率提升，所以在显式动力学中大家都很喜欢用缩减积分，只是要好好控制沙漏效应。来源：大狗子说数值模拟