有限元基础知识：热分析
大家往往比较熟悉结构有限元分析中的力学分析，力学分析或多或少可以从一个弹簧系统作为出发点，很好理解，而对于热分析我们可以按如下的进行理解。结构中的热分析主要是是根据傅里叶定律（Fourier‘ law）：
其中 为材料密度， 为温度， 为材料比热容， 为时间， 为热流， 为内部体积生热率。进而根据傅里叶定律，我们可以将热流与温度的梯度建立起来关系：
其中 为材料的热传导矩阵，通常对于各向同性材料就是一个典型的对角矩阵
若为各向异性的热传导问题，则三个方向的热传导系数不同。基于上述公式我们可以把热能守恒方程转化成如下的形式：
这也就是对应着我们通常所说的瞬态热分析。通过忽略时间项，我们认为时间是无限长的，故热能守恒中时间导数项可以忽略，我们也就得到了稳态热分析的方程：
对于稳态热分析，我们通过弱形式及有限元的单元离散化，最后可以得到以下的公式：
而对于瞬态热分析我们则可以得到：
这里的 为热容矩阵， 为热传导矩阵。
针对这两种分析即瞬态与稳态传热分析，我们最为广泛应用的有3种边界条件，即温度边界条件（Dirichlet condition），热通量边界条件（Neumann condition）与对流边界条件（Robin condition）：
温度边界条件（Dirichlet condition）
指定某些位置的温度等于用户设定的温度场值（Dirichlet边界）
热流、热通量边界条件（Neumann condition）
其中 为单位外法向， 为边界上指定的热流值。
对流边界条件（Robin condition）
可以看到这里热流是由当前边界温度与环境温度的差来决定的，所以属于Robin边界条件。这里通常我们所说的向环境热辐射，其实也可以看作是一种热对流的特殊形式
而对于两个物体之间的热辐射则会复杂的很多，需要计算物体之间的view factor，暂不在这讨论，其实可以类比于力学中的接触分析。
对于热分析的理解，作为熟悉力学分析的人可以做一些类比，比如：
热流可以类似的理解为均布力 温度边界条件可以类似于指定位移 热容矩阵可以类比为质量矩阵 热传导矩阵可以类比为刚度矩阵 求解的温度场可以类比为位移场 内部体积生热率可以类比为体力
