有限元基础知识：动力学HHT方法

继续我们之前的内容，在有限元推导中有一个特别重要的概念：协变基与逆变基，这在曲面几何中也特别常用。很多会有限元算法的人也多少会一些计算几何，或者反过来，很多新的单元算法就是基于曲面几何+有限元的概念进行推导的，比如一大堆基于曲面几何的壳单元算法，比如考虑摩擦接触算法等等。所以今天我们就来讲一下协变基与逆变基，我们来看一下我们之前对于张量的一些定义，比如对于一阶段张量对于二阶张量这里面其实都隐含着一个假设，那就是为一组正交基底，我们通常所用的笛卡尔坐标系的基底就是正交且单位长度的，这种正交的基底有如下的性质：其中为kroneckerdelta，在的时候为1，的时候为0，这也就是我们通常所说的两个垂直的向量点积为0，单位向量自己对自己的点积为1。那么现在，假如我们基向量之间并不正交，且并不保证是单位向量，我们将如何构建基于这组“基向量”的表达呢?我们来看以下这个图，原始的笛卡尔坐标系下的两个基向量与为一组正交基，而我们现在构造另一组与，如图中红色箭头所示，很明显这组基，并不相互正交，长度也并不是单位1，我们可以认为这组基是“瞎选”的，是随便给出来的，是怎么方便怎么来的。我们给这组基底，起名为“协变基”，用下标进行标识。那么如何用这对协变基表达我们的向量呢，这里我们就引入“逆变基”，基于上述协变基，我们构造另一对基向量，满足如下公式那么我们就把称为“逆变基”，用上标表示。这里与如上图蓝色箭头所示，同样可以看到他俩也是并不正交，长度也不是单位1。那么我们的向量现在可以表示为其中称为逆变分量，该向量也可以表示为其中称为协变分量，。这里可以总结为，逆变分量和协变基在一起，协变分量和逆变基在一起，一个下标总对应一个上标。以上具体的证明过程大家可以在任何一本张量教材中看到，也很简单，故不再赘述。那看到这大家可能会疑惑，比如我当年上学的时候我就疑惑：学这玩意有啥用？而很多教材都是先讲定理，就算看明白了推导也是云里雾里。这里我结合我自己这些年对他的理解我总结以下几条用处：很多时候取得一组正交基很难，比如针对曲面进行积分，你的基底大概率是3D曲面的两个切线方向（通过曲面微分得到），而这两个未必正交有了协变、逆变之间的关系我们可以像处理通常的两个向量点乘一样，形如,只要是注意分别采用协变分量与逆变分量原本是正交的基底，在大变形下可能变得不是正交（剪切、拉伸、旋转），那么采用上述协变、逆变的描述可以保证从前到后用一套通用的公式对于我们常用的张量，比如应力，其实更为合理的表达为，这样就更为通用由于篇幅的限制今天就先到这，后续讲一下两者的变换，与度量张量等。来源：大狗子说数值模拟