有限元基础知识：谐响应分析
上一次说到了模态分析，有限元基础知识：模态分析
之前又有说到瞬态动力学分析，有限元基础知识：动力学分析，而我们常用的谐响应分析，其实是动力学在频域的一个变种，分析系统在某些频率下是否会出现共振，并分析其响应情况及阻尼的影响。首先动力学方程还是原来那个动力学方程：
相比模态分析研究物体本身的自振频率问题，谐响应分析更多的时候研究的是物体受到简谐激励情况下的响应，所以成为谐响应分析 (Harmonic response)，简谐激励顾名思义就是这样
其中 为激励的赋值，而 为激励的角速度， 为所谓的相位角。
从这个公式上我们可以看到，这是个时间相关的函数，但这似乎与我们平日所见的谐响应分析有悖，我们一般都是说在某某频率下的激励下结构的响应如何如何，那么我们可以根据以下公式对公式进行重写：
在简谐振动的基本假设下得到位移、速度、与加速度的基本表达式，那么我们就可以重写动力学方程为
其中我们忽略掉了时间的效应，把问题转到纯粹的频域空间上，所以我们并不会关注结构由于物体加载过程导致的瞬态响应，更多的关注的是不同激励频率（角速度）下物体的稳态响应，这也是Abaqus中将Harmonic response称为Steady-state dynamics的原因。
接下来我们就对以上的方程进行求解，求出激励下结构的位移、速度、加速度幅值与相位，通常来说有两种方法：
直接法 （Direct），就很简单粗暴，即对每一个频率点下分别计算下列公式
进而直接进行线性方程求解（复数的），得出不同频率下的结构响应。模态叠加法 （Modal），用的相对更多一些，原因是在于其计算效率可以更高一些。其核心思想在于我们结构的运动形态可以通过不同模态振型的线性叠加所表示，理论上对于一个n自由度系统，我们有n个振型，可以通过其线性组合得到真实的响应，即
那么对于多自由度系统，通常我们不会真的算n阶振型，我们一般认为当模态参与因子满足一定的标准下的某m阶振型就够了(m<n),那么我们就可以通过在一定程度上带有“误差”的降阶问题来表示上述动力学问题，且由于模态振型本质上就是特征向量，具有相互正交性与归一化的性质，也就是：通过这些我们就可以得到一个解耦的系统，将多自由度的频响问题，转化为模态坐标下的单自由度频响问题，问题就会简单很多，求解效率就会高很多，但是注意，因为这里对于阻尼阵可能并没有模态振型有上述关系，往往这里就要求阻尼是 与 的线性组合，比如瑞丽阻尼，而类似于单元阻尼，材料阻尼这些可以跟 与 毫无关系的，就不能用模态叠加法了，大家只能去选用直接法。
一些其他的小点就是很多情况下，这个东西被称为阻抗（电学和结构中都有类似的概念）：
而其倒数称为导纳，或者频响函数 （传递函数）：
其实这些叫啥也都不重要，别人说的时候你知道他在说啥就行了。
大家做NVH，做旋转机械，做汽车应该会经常遇到频响分析，希望本文能对大家有帮助。
