基于非凸多边形单元的光滑有限元法——任意网格构建和热传导分析

一、研究背景和难点

  多边形单元因其在域离散化过程中的高度灵活性、出色的网格细化及自适应性能力，在数值算法领域取得了显著的进展。然而，非凸单元的应用对数值算法的稳健性构成了严峻的挑战。针对这一难题，本文采用光滑有限元方法（Smoothed Finite Element Method, S-FEM）来求解采用非凸单元离散的二维热传导问题，为处理非凸单元的数值算法提供了一种新的视角和解决方案。

二、非凸多边形网格构建及问题域离散

 为了验证S-FEM在处理任意凹网格的鲁棒性，本研究通过图像采点构建了多种具有高度复杂性的凹多边形单元。下图所示即为依据图像信息所构造的一个具代表性的“狗形”凹多边形单元示例，该示例直观展示S-FEM在应对复杂多边形单元挑战时的应用潜力。  将上述图像中抽象所得的网格嵌入至标准化的    坐标系内，随后在该正方形单元内部构建支撑单元，以确保对整个正方形区域实现一个既无重叠又无遗漏的离散化处理。在此基础上，将此正方形区域视为一个基单元，采用逆坐标映射技术，将其应用于整个问题域的离散化过程中。这一方法允许我们采用任意复杂且非凹的多边形单元来对问题域进行离散，可充分验证数值算法的鲁棒性，灵活性和适用范围。

三、光滑有限元算法

  针对任意复杂形态的多边形单元，S-FEM采用耳切技术来构造光滑积分域。并基于光滑梯度技术，实现了将单元内部的面积分转化为光滑域边界上的线积分。这策略有效地避免了雅可比矩阵的计算，从而显著增强了S-FEM在处理网格畸变问题时的鲁棒性。  如上图所示，对于含有n个节点的任意多边形单元，通过耳切技术，可以生成n-2个光滑积分域。根据下述公式，可以验证上述光滑积分域满足S-FEM在求解热传导问题时所需的稳定性条件。

      表1 光滑有限元求解热问题的稳定性条件

四、数值算例及验证

  为了验证本文所提出方法的有效性和适用性，我们设计了基于均匀介质及多材料情形的数值算例。下图展示了一个均匀介质热传导问题的具体算例，其中采用了具有独特几何特征的“狗形”单元和“兔形”单元来对问题域进行离散化处理，充分检验S-FEM在处理复杂几何网格时的性能和准确性。

 下图呈现了一个涉及多种材料的热传导问题数值算例，旨在验证所提方法在自适应网格的鲁棒性。为此，采用不同网格密度，多种类型的缝合多边形单元对问题域进行离散化处理。

五、结论

1. S-FEM不仅在线性单元求解中展现出极高的精度和收敛性，而且在非凸多边形单元的应用上也表现出良好的适用性，本研究不仅扩展了S-FEM的应用范围，使其能够更有效、更灵活的离散问题域。
2. 基于梯度光滑技术，S-FEM在处理非凸网格时展现出自稳定性，无需引入任何额外的稳定项。这一特性使得S-FEM在保持与传统有限元方法相同格式的同时，能够更稳健地应对网格畸变和非凸性带来的挑战。

六、论文引用格式：

1. Wu SW, Yang R, Niu RP, Cao LX, Liu X, Wan DT, Liu GR, A novel formulation  for heat conduction using non-convex meshes based on smoothed finite element method. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2025, 237: 126310.
2. Wu SW, GR. Liu, Jiang C, Liu X, Liu K, Wan DT, Yue JH, Arbitrary polygon mesh for elastic and elastoplastic analysis of solids using smoothed finite element method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2023, 405: 115874

七、作者信息

 吴少伟，博士，现为长沙理工大学汽车与机械工程学院讲师，主要从事光滑有限元理论和算法，非线性计算固体力学、非线性材料本构模型、核-热-力耦合的多物理场软件开发等研究。主持国家自然科学青年基金，湖南省自然科学青年基金2项，以核心成员参与国家自然科学基金重点项目。以第一作者或通讯作者在计算力学权威期刊CMAME、IJNME、CM、IJMS、AMMOD、IJHMT等杂志发表SCI论文9篇。担任多个期刊审稿人。
 邮箱：wusw@csust.edu.cn
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