介绍一个二维结构化有限元的常见边值问题
简述
介绍复杂的二阶结构化有限元问题，意在给出二维结构化四边形有限元常见的系数矩阵。这里以求解sin(x+y)函数分布为例。
1.边值问题
该问题的理论解与研究区域为：
一般常见问题的微分方程可能是二阶导数方式不同例如梯度、旋度等；存在一阶导数、右端项不为零、各项系数不同等来表示不同的物理意义；边界条件可能是第二类、第三类边界条件。
具体问题还是得具体分析，但是大体上思路以及推导方式是一致的。
2.有限元推导
对微分方程乘以试探函数，并在研究区域内积分，得到如下公式：
与以往的推导一样，同样采用分部积分得到：
根据给出的边界条件，全部为第一类边界条件，在后续强加第一类边界条件后会覆盖掉上梯度的边界项，因此不需要考虑上述边界条件的影响，直接得到有限元方程：
3.四边形基函数
采用四边形结构化的线性基函数，具体表达式：
展开式如下：
4.单元系数矩阵
这里直接给出三个部分的系数矩阵，具体的推导方式可以参考文章：最简单的二维结构化有限元问题：求解拉普拉斯方程，其中都有详细的介绍。
5.系数矩阵组装
系数矩阵的组装过程与文章：最简单的二维结构化有限元问题：求解拉普拉斯方程几乎一致，这里不再赘述。
其中四个边均为第一类边界条件，加载的方式同样采用乘以大数的方法。具体实现方式如下：假设有0，1，2，3四个点，对1号点在(x=0,y)位置，2号点在(x,y=0)位置，则乘以大数的方法如下：
6.计算结果
将x,y属于（0，2pi）的区域划分为20*20个网格的计算结果与误差：
将研究区域划分为100*100个网格时的结果：
7.总结
a.实现二维结构化有限元例子，计算流程与文章：最简单的二维结构化有限元问题：求解拉普拉斯方程几乎一致，区别在于单元系数矩阵与边界条件的加载，这两点也是所有有限元问题求解的关键所在。
b.matlab在求解20*20网格量的时候效率依旧非常高，但是在求解100*100的时候效率就变得非常慢，因为有1万个单元，1万多个节点，需要生成1万*1万的矩阵，因此在内存占用和计算效率上用matlab直接求解线性方程组的方法效果都比较差。采用稀疏存储与高效的线性求解器是可以很好的改善这些问题。
c.与一维有限元的误差分析一样的结果，网格越多，计算的精度也就越高，网格20*20的误差在0.025左右，网格100*100的误差低至1e-3。但是看查看误差分布可以得知，并不是所有的地方都需要密集的网格，所以各方面最优角度考虑，自适应有限元技术同样可以二维的问题，不同点在于网格加密策略与实现的过程要复杂于一维网格。
