二阶叠层基函数：二维电磁衰减数值模拟
简述
1.二维电磁衰减的边值问题
该问题的边值问题与研究区域：
对于均匀介质，解析解公式为：
2.有限元离散方程
推导类似：介绍一个二维结构化有限元的常见边值问题，这里直接给出有限元方程为：
3.二阶叠层基函数
首先给出二维三角形通过面积坐标得到的线性基函数：
二阶三角形叠层基函数则可以表示为：
对应的单元三角形中编号为：
4.单元系数矩阵推导
推导过程类似：二维有限元实现详细过程：三角形网格二阶插值基函数这里给出梯度项高阶部分的详细推导过程：
对y方向的推导，只需要把上述a修改成b即可。对离散方程的第二项系数矩阵推导类似，这里直接给出推导结果：
离散方程的第三项边界项，为一维二阶叠层有限元的基函数：
至此，有限元方程中三个部分的单元系数矩阵就全部推导完成。
5.系数矩阵组装
以2*3网格作为示意图，如下显示：
对应二阶叠层基函数的局部编号到全局编号的对应关系如下：
按照上述的点、边映射关系，可以得到全局系数矩阵。将该映射关系与二阶插值基函数的映射关系做比较，可以发现两者在高阶的顺序上存在差别，这是因为基函数定义的顺序存在差别。
此外插值基函数与叠层基函数的最大区别，插值基函数的高阶部分在网格上也有具体点，而叠层基函数的高阶使用棱边表示，不具体体现某个点的数值，体现的是高阶部分的精度。详细说明请参考：
6.计算结果与精度分析
从a、b的对比结果，相同网格下，二阶的叠层有限元的结果基本上比一阶有限元结果的精度高一个量级；
从c的结果分析，二维的优势既可以表示两个维度上的不一致，在该例子中，表示二维下电导率介质的不同，更能够模拟实际情况的电磁场；
从d的结果，网格越多模拟的结果更加的光滑，也正是因为d图中的光滑结果，说明该模拟的电场应该是垂直与研究区域，也就是电场极化方向为Z方向，而不是Y方向。
因为电场的法线方向在介质突变的分边界上是不连续的，不会出现如图中这种渐变光滑的情况。当电场极化方程为Z方向，不会出现电场振动方向垂直穿过分界面的情况，只会出现电场的切向方向穿过介质分界面，而电场的切向方向刚好又是连续的。所以判断电场极化方向为Z方向。
7.总结
a.本次内容通过实现了电磁衰减规律的模拟，详细介绍了二阶叠层有限元的详细过程；
b.通过电场传播规律以及有限元求解结果，反推电场的极化方向，再次强调了解物理规律再选择合适的有限元求解方式的重要性；
c.标量（节点）有限元，即未知数落在节点上，这种有限元在各个方向上均是自然连续的，这是标量有限元本身的特征，因此对于电场法线方向在介质分界面不连续的情况是无法模拟的。后续介绍矢量有限元则可以解决这个问题。
