初探高斯积分在一维有限元中运用：泊松方程
简述
在之前的所有有限元文章中，单元系数矩阵的推导均是直接求解得到系数，其实还有一种方法，可以避免人工求解最终的系数矩阵，其原理就是使用高斯积分，对系数矩阵的被积分项使用高斯积分，从而避开人工推导系数矩阵。
本文通过最简单的一维泊松方程，初步探索高斯积分求解系数矩阵的过程。
1.边值问题
泊松方程的一维边值问题如下：
其对应的有限元问题如下，具体不再推导（参考：最简单的一维有限元问题：求解cos函数分布），直接给出结论：
2.一维线单元基函数
在之前的一维有限元基函数推导中，已知基函数可以表示为如下：
现在，我们将上述的基函数投影到区域[-1,1]中进行求解，投影关系有：
其中xe表示单元中心点坐标。将上述式子带入基函数中，得到：
上述基函数的梯度表示为：
因此，针对1阶基函数而言：
针对插值型2阶基函数而言：
3.系数矩阵推导
根据高斯积分公式，在实际插值中，高斯积分的阶数大于等于基函数插值阶数。
对于1阶泊松方程，积分第一项：
将被积分式子堪称高斯积分中的被积项，带入：
推导这里即可结束！对于积分第二项：
如此推导完成！
对于高斯积分的采样点与权重，直接给出：
由此，就可以根据上述公式，直接得到积分结果,这对于编程实现是很便捷的。这里具体说明K11实现过程,以便于理解：
针对1阶基函数而言，已知基函数的导数：
带入得到：
取1阶高斯积分，则已知：
带入上述式子：
所以，该项对x的梯度的积分结果为：
同理，针对右端项rhs11积分：
同样带入1阶高斯积分采样点和权重值，得到：
所以，该项的积分结果为：
针对2阶基函数而言的k11
带入二阶高斯积分点和权重：
最终带入，得到该K11的 求解结果：
演示到这里停止，上述求解计算完全可以交给计算机，这里仅为了说明过程推导例子。
需要注意的是，该流程针对Kij,rhsi是完全一致的，因此不需要求解得到每个具体矩阵系数，这在编程通式求解是非常重要的。
4.组装矩阵与边界条件加载
这部分与之前的有限元组装流程一致，这里不再介绍，参考：最简单的一维有限元问题：求解cos函数分布
5.结果展示
计算区间为[0,10]，均匀剖分为20个线网格单元。
a.1阶基函数，使用1阶高斯积分 共计21个未知数
b.2阶基函数，使用2阶高斯积分 共计41个未知数
可见，数值结果结果与理论完全对应一致！
6.结论
在有限元的实现中，如果能求解通式，一定要比求解特定数值更加的适用，因此高斯积分的介绍也是为了这个目的。
