线性静力学

线性静力学大家都非常熟悉，无论是从结构力学的桁架、梁体系出发，还是从弹性力学的平面应力、应变出发，或是从偏于数学的变分理论出发，我们都拿线性静力学作为初始案例。我们在有限元中计算单元的刚度矩阵，并组装成整体的刚度矩阵，通过多种方式施加边界条件进而进行求解，得到以下的公式

其中    为刚度，    为位移，     为外力，这个其实也非常向我们最熟悉的胡克定律，即你知道弹簧的刚度，知道力算弹簧的伸长量。

非线性静力学

那么非线性静力学又是什么样子呢，或者说非线性分析又是什么样呢，总的来说我们可以把上述的式子改造一下

这里    表示刚度是位移    的函数，也就是说刚度是随着位移的变化而变化的，比如一个弹簧伸长率为0.1的时候他的刚度是1N/mm, 伸长率为0.5的时候刚度为0.5N/mm。另外    表示外力也是随着位移的变化而变化的，想象气球的内压力，其实一直垂直于气球的表面，但是气球的形状可以改变，当气球的形状改变时也就造就了外力的变化。

一般情况下教科书上肯定不会像上述这样描述一个非线性问题，但事实就是，非线性问题到头来的本质就是    或者    并不是一个定值了。通常来说，有三种因素会导致上述变化（我们生活中大部分问题都是非线性的，只是我们为了计算方便很多时候简化为线性）：

1. 材料非线性
2. 大变形 （几何非线性）
3. 接触（边界非线性）

材料非线性

正如大家熟悉的应力应变曲线，大家可以看到其并不是一条直线，我们通常所说的弹性模量，对于金属来说一般也指的就是初始段的弹性模量。那么我们可以看到应力与应变边的关系并不是一个常数。由于有限元中应变是由于位移计算而来的，所以我们可以看到    , 刚度矩阵是一个随着位移变化的量。

大变形

正如上述说的气球问题，当变形比较大的时候，物体的形状、位置都发生较大的改变，刚度矩阵同样随着位置进行改变，且如果有上述气球中的那种一直保持着垂直的气压，那么外力也随着变形进行改变。

接触

上述两种非线性大家一般在教科书中都有学到，但是很少有有限元的教科书会讲一下接触，或是讲的一般非常简短，其实接触非线性也很好理解，当两个物体发生接触的时候，两个物体的边界（接触边界），边界上的力（接触力）不断地随着变形的变化而发生变化，这也就造成了     与     都随着     的变化而变化。

很多不是很熟悉Abaqus的朋友们，第一次用这种软件就用Static分析，而Static分析其实是通用分析，指的就是非线性静力学，而如果想用线性静力学，则需用到Linear perturbation中的linear static。

求解非线性问题

求解非线性问题的办法也有很多，最为常见的就是牛顿法，牛顿法的基本思想就是根据当前的状态求出切线矩阵，并求出残余向量，进行位移增量的求解，即：

这本质上是一种“以直代曲”的思想去逐步迭代接近真实值，如下图所示：pic而对于具体的     怎么求解，针对不同的材料本构、大变形单元算法及接触算法均有不同的推导，今天就不进行详细的介绍了。

为了帮助大家更好的理解非线性牛顿迭代中     的由来，结合着差分，下次讲一下差分与线性化。