科学贵族的游戏：最速降线（上）
来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。
Acta Eruditorum是创刊于1682年的欧洲第一份德语科学期刊（1782停刊），1696年6月，约翰·伯努利 (Johann Bernoulli, 1667-1748) 在Acta Eruditorum上刊发了最速降线问题 (the brachistochroneproblem)：
在一个垂直（相对于地面）平面内，给定两点A和B（该两点连线不垂直于地面），（考虑）一个仅受重力作用的点（质点或者小球），从A开始运动到B点，（在各种可能的路径中）耗时最短的路径是一条什么样的曲线？
如图1所示，A、B是竖直平面内连线不垂直于地面的两点，忽略阻尼，求一小球在只受重力作用时从A到B时间最短的一条路径。
图1 最速降线问题
当时欧洲几个公开讨论的问题给问题的提出者和解决者带来了很高的知名度，如1637年费马 (Pierre de Fermat, 1607-1665) 提出的费马大定理，又如帕斯卡 (Blaise Pascal, 1623-1662) 于1658年曾征集求摆线的重心、面积和体积的方法等。约翰·伯努利在提出问题时说道：
我，约翰·伯努利，向世界上最杰出的数学家提出一个问题。对聪明人来说，没有什么比一个诚实的、具有挑战性的问题更有吸引力了，而这个问题可能的解决方案将使人名声鹊起，并成为不朽的丰碑。在帕斯卡、费马等人树立的榜样之后，我希望通过把一个问题摆在我们这个时代最杰出的数学家面前来获得整个科学界的感激，这个问题将考验他们的方法和才智。如果有人向我提出问题的解决方案，我将公开宣布他值得赞扬。
有关最速降线的问题，伽利略曾在他的《两门科学的对话》(1638年) 中研究过该问题，他认为所耗时间与AB 两点的水平距离成正比，而与高度H 的平方根成正比，比例系数为k ，各种轨迹下导致的比例系数不同，所以它们的耗时也不同。他认为速度最快的不是连接两点的直线（这个结论正确），而是圆的一部分弧线（这个结论错误）。不过，伽利略只是验证了沿弧线下落的小球比走直线的小球快，但并没有给出证明。
图2 伽利略博物馆展出圆弧路径与直线路径
（图片来源：百度搜索）
约翰·伯努利提出这一问题时，最初设定的解答时间为6个月，但6个月过去之后，却没有收到任何回复，在莱布尼兹 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) 的劝说下，约翰·伯努利又将答题时间延长为1年半，最终获得了包括约翰·伯努利在内的共5种解答，他们分别由约翰·伯努利和他的哥哥雅各布·伯努利 (Jakob Bernoulli, 1654-1705)，牛顿 (Isaac Newton, 1642-1726)，莱布尼兹，契恩豪斯 (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, 1651-1708，发明了多项式变换的Tschirnhaus变换)，洛必达 (Guillaume de l'Hôpital, 1661-1704) 等5人给出。
约翰·伯努利给出了一种间接法（1697年3月），他借用了费马提出的折射定律。1650年，法国数学家费马提出光通过介质时满足所耗时间最短原理，如图3所示，考虑从空气中入射进入水中的光：假设光从图中A点到B点，经过C点的折线路径最短。
图3 光线从空中射入水中发生折射
（图片来源：百度搜索）
假设，OA=h，DB=H，OD=c，OC=x（未知数）；并且空气中光速为v1，水中光速为v2。写出从A 点到B 点的耗时为
求极值，令
这里x/√x² h²=sinβ1，x/√(c-x)² H²=sinβ2，因此，上式可导出光的折射定律：
引入折射率（空气中光速与介质中光速之比），折射定律就可以表示为
这个例子说明光之所以发生折射，正是为了在最少的时间内跑完全部路程。为此，在跑的慢的介质中尽量少跑一些路程，而在跑的快的介质中多跑一些路程，这样配合起来达到用时最少的目的。1696年，约翰·伯努利将小球下落的空间分成许多小的下落层，每层高度为h，当h 很小时，可认为小球做匀速运动，利用能量守恒定律，可求得小球到达每一层速度。在速度小的层内尽量竖直下落，以获得速度；在速度大的层内，逐渐增加水平方向的位移。
图4 最速降线约翰·伯努利求解方法示意图
例如，小球降落在第一层，速度为v1，则有
以此类推，在第二层速度为v2=√2g ·2h，第三层速度为v3=√2g ·3h 等等。为了获得最小的耗时，小球运动在每一层的边界上也应该满足折射定律，即
C 为某一常数，βi 为小球进入第i 层时的折射角 (i=1,2,3...)，即小球轨迹与垂直线的角度。由上式可以做两个推论：
当小球速度为零时，角度必须为零。最速降线在原点与垂直线相切。
小球达到B 点时，速度达到最大，此时轨迹为水平，即β=90°。
因此，上式中的常数C 可以通过达到B 点时的最大速度求出，
H 为A 点到B 点的垂直高度。设小球位于 (x,y) 点时速度为v，β 为轨迹相对于垂直线的偏转角，则有
y(1 y '²)=H 即为最速降线的微分方程，约翰·伯努利证明了最速降线实际上是一条摆线，所谓摆线就是圆上一点在圆滚动时产生的轨迹，即
其中，φ 为参数，r 为摆线圆的半径，且r=H/2。可以证明上式满足最速降线的微分方程，由上式求y '，
将上式带入
有
如图5(a) 所示，即为轮缘上的点在轮子滚动时留下的痕迹，它和小球下降时速度最快的最速降线一致，如图5(b) 中的红线。
(a) 摆线
(b)最速降线示意图
图5 摆线与最速降线对比图
（图片来源：百度搜索）
约翰·伯努利的证明给我们留下了深刻的印象，而且利用他的方法还可以验证光的折射定律。不过，约翰·伯努利的方法太有针对性，他的哥哥雅各布·伯努利的方法则更为有条理，成为变分法的重要思想来源。
伯努利兄弟生活的时代，正是微积分兴起的时代，当时人们已经知道了利用微分求解函数极值的方法。如一元函数，对其自变量求导，当该导数为0时，该点就有可能是函数的极值点。雅各布·伯努将这个概念推广到了求解最速降线上，假如有多条路径供小球下落，且将下落时间看作是路径的函数，那么当所耗时间的改变率（相当于求导）为0时，即可获得耗时最少的路径。
考虑图6所示，设小球从O 点下落，OCGD 是最速降线上的一部分，用y表示小球下落的垂直高度，则下落高度y 后，小球的速度为√2gy。
图6 雅各布·伯努利最速降线方案
假设CG 为很小的微段，可近似认为在CG 上小球的速度为常数，设为v1=√2g|HC|。同样假设GD 也是很小的微段，可近似在GD 上小球的速度为常数v2=√2g|HE|。假设G 在水平方向有微小增量变为L 点，即GL 为很小的微量，则路径OCLD 为不同于OCGD 的另一条路径。在CG 上作M 点，使得CM=CL，在LD 上作N 点，使得GD=ND。
当L 趋近于G 时，∠LMC 和∠LNG 均趋近于90°，则有
则
同时，
则
这里ds1 表示CG，ds2 表示LD。它们分别在x 轴上投影为别为dx1 和dx2。因此，可求得MG 和LN 上所耗时间分别为
根据微分为0求极值的思路，这里的自变量成为两条相邻很近的不同路径，如MG 和LN，当两条路径趋近0时，时间的改变量为0。则可得到所耗时间的极值，为此，令
化简后，
引入入射角和折射角，也可以将上式写成折射定律的形式。由以上三式，雅各布求得了最速降线的微分方程如下：
由于ds=√1 y '² dx，上式变形后与y(1 y '²)=H 一致，求解也是摆线。
约翰·伯努利提出最速降线时，正是微积分在欧洲的兴起之时。为争夺微积分的优先权，牛顿和莱布尼兹形成了两大阵营。有人认为莱布尼兹和约翰·伯努利在最速降线上故意引诱牛顿，约翰·伯努利在征集解答时特意加入了这么一段：
...可能会解决我们出色问题的人很少，是的，即使是那些自夸借助新黄金定理（大概暗示流数术）并拓展了它们的应用范围，但是事实上早就被其他人出版了。
约翰·伯努利1696年6月提出该问题，牛顿到隔年的1月29日才知道了这道题。当时，牛顿已经成为伦敦皇家铸币厂的监管，牛顿知道这个挑战后说：
我最讨厌的有两件事，一是被人催款，二是被外国人在有关数学的问题上取笑…
当天下午4点下班后回到家开始解决这一方案，到次日凌晨4点就解决了这一挑战。
（未完待续......）
参考文献：
[1] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone/
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve#Jakob_Bernoulli's_solution
[3] Babb, Jeff and Currie,James (2008) "The Brachistochrone Problem: Mathematics for a BroadAudience via a Large Context Problem," The Mathematics Enthusiast: Vol. 5: No. 2 , Article 2.
