《Mechanics of Solid Polymers》4.9.4热力学第一定律

yunduan082

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在本节中，我们将介绍能量守恒的概念，特别是热力学第一定律，它在机械工程的许多领域都有深远的影响。

我们研究的系统是一个封闭系统，它可以与周围环境进行功和热的交换，但不能通过其边界传递物质，如图4.11所示。该系统内部有体积热生成（r），并通过其边界与周围环境有热流（q）。系统还受到外部表面力（t）和体积力（bf）的作用。

图4.11 当前构型下热力学物理量的图解

热力学第一定律表述如下：

系统能量增加率 = 系统获得的热量率 + 外力对系统做功的速率

这可以用当前构型下的平衡方程表示为：

或在参考构型下表示为：

在接下来的内容中，我们将重点关注当前构型的表达式。方程(4.184)左侧的第一项表示内能和动能的时间导数。通过引入变量替换x(X) = χ(X,t)，可以将积分转换到参考构型，从而简化这一项：

从方程(4.162)我们知道D/Dt(ρcJ) = 0，因此得到：

系统获得的热流由以下公式给出：

利用散度定理（方程(4.54)），外部表面力对系统所做功的速率可以写成：

将方程(4.187)、(4.188)和(4.189)代入方程(4.184)，我们得到以下表达式：

根据线性动量平衡（方程(4.174)），这个方程给出了当前构型下能量守恒的场方程：

使用类似的推导，参考构型下的能量守恒场方程可以写成：

来源：ABAQUS仿真世界

《Mechanics of Solid Polymers》4.9.2线动量守恒

4.9.2线动量守恒从刚体动力学理论，我们知道牛顿第二定律可以表述为：作用于物体上的力等于线动量对时间的导数。在本书中，我们关注于发生大变形的可变形物体，对于这些物体，线动量平衡可以写成以下形式：这一原理可以写成当前构型下的平衡定律：其中，是当前构型边界上Cauchy表面牵引力的分布，是当前构型中的表面积元素，∂Ωc 是当前构型中物体的表面，是速度场，是每单位当前体积的体力场。方程中使用的力在图4.10中定义和说明。图4.10 线动量平衡中所用力的定义示意图为了将方程(4.167)转换为场方程，我们首先应用Cauchy应力定理(4.138)：应用散度定理（方程(4.54)）到方程(4.168)的第一项，得到：线动量的时间导数可以通过使用与推导质量守恒场方程时相同的变量替换来进一步简化：由质量守恒方程（方程 (4.162)），项D(ρcJ)/Dt = 0 ，得到：因此，线动量的平衡可以从方程 (4.168)、(4.169) 和 (4.172) 得出：此方程对于任意子域Ωc 都应成立，因此其被积函数必须恒等于零，从而得到以下线性动量平衡的场方程表示：上述推导可以在参考构型中重复进行。推导的具体细节留作练习，线性动量平衡的最终场方程为：来源：ABAQUS仿真世界