力学概念 | 基于能量原理的结构稳定分析
图1为一下端铰接、上端具有弹性支承的单自由度刚性杆,弹簧刚度系数为 ,杆的长度为 ,在杆顶端作用有竖向力 。
▲图1
结构的总势能为
三角函数用泰勒公式展开
则有
由势能泛函极值条件 得
非零解 是结构的临界载荷。
由总势能的二阶变分来判断结构的平衡状态。
当，说明此时的平衡状态是稳定的;
当，说明此时的平衡状态是不稳定的;
以上是按照小变形理论的分析。若按照大变形理论分析，由(1)
可得
与 的函数关系如图2所示，随着 的变化, 始终小于 。当 时, 。
▲图2
由式(8)可得
(9)代入(10)得，
式(11)给出的是负值,说明有转角的杆处在不稳定的平衡状态。
当 时，
说明结构的总势能具有最大值,在平衡分岔点是不稳定的。
用 表示势能的增量,用 表示荷载 所做的功,在整个变形过程中,两者存在着下列结果:
(Ⅰ) > 。此式表示结构是稳定的,压杆恢复变形的能力大于荷载P势能的减少能力,说明压杆有能力恢复到原来的平衡状态,称稳定平衡状态。
(Ⅱ) > 。此式表示结构恢复变形的能力小于荷载P势能的减少能力,使压杆丧失恢复原来位置的平衡状态,称不稳定平衡。
(Ⅲ) = 。此式表明结构处于由稳定状态向不稳定状态的过渡状态,称临界稳定平衡状态。
▲图3
图3所示的三种平面张弦梁结构形式，上凸式张弦梁撑杆发生平面外的扰动时，拉索长度增大，拉索张力增大， 增大，而 可忽略。上弦发生变形时，其应变能一定大于0。因此 > ，处于稳定平衡状态，因此不需要额外设置平面外的支撑。济南西站的张弦梁就是上凸式，如图4所示。
▲图4
下凹式张弦梁撑杆发生向张弦梁面外的扰动时，拉索长度缩短，拉索张力减小， 减小，下凹形张弦梁平面外稳定性较弱。为保障结构安全，需要额外的措施。如图5所示，长沙会展中心为保障结构安全，设置两道保障张弦梁平面外稳定性的防线，即拉杆式隅撑和张弦梁撑杆上端双板铰节点。此节点在张弦梁面内可转动，便于施工张拉;在张弦梁面外具有一定的抗弯能力，防止张弦梁侧向失稳。
▲图5
中平式张弦梁有上海虹桥站(V型撑)和五角场合生汇(平面外稳定索)。
