点阵结构的拓扑优化案例

引言

微观结构的拓扑优化可以帮助设计超材料（metamaterial), 这些材料可以具备独特的力学性能并且重量更轻，并结合3D打印技术使其得以实现。本文基于Altair Optistruct复现了一个点阵结构拓扑优化的案例，展示了不同边界条件下单个晶胞的优化结果，再将若干个晶胞进行叠加获得点阵结构。若需购买对应的案例文件，请直接拉至文章末尾（注意文件为Hm文件，基于OS求解器）。

1. 拓扑优化与超材料研究

超材料（Metamaterials）是指通过人工设计和制造，具有天然材料不具备的特殊性质的材料，它们的独特性能主要来源于其结构，而不是成分。通过对微观结构进行拓扑优化设计，可以针对特定的使用条件，设计出针对该工况性能更高的力学材料，同时减轻重量。随着3D打印技术的日趋成熟，使这种构想不再仅仅停留在图纸上，让超材料得以展现出广阔的工程应用前景。下图展示了一些经过了拓扑优化的点阵结构的3D打印样品[1]。

经过拓扑优化的点阵结构的3D打印样品[1]

(参考资料链接：[1] Da, Daicong. Topology Optimization Design of Heterogeneous Materials and Structures. Wiley, 2023.)

2. SIMP优化算法

Optistruct默认使用基于梯度的SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）算法进行拓扑优化，SIMP算法是一种常用的结构拓扑优化方法，通过引入相对密度在0到1之间变化的材料，寻找在一定材料用量条件下具有最大刚度（或最小柔度）的结构材料最佳分布形式。

优点：结构设计变量（单元密度）与优化问题直接挂钩，优化算法收敛性好，灵敏度计算简单；适用于基于有限元的离散设计灵敏度计算；计算效率高，尤其在低CPU时间预算下能产生高质量解决方案。

缺点：优化出的拓扑结构边界不够清晰，特别是过滤半径较大时，灰度区域没有物理意义，设计若无后处理无法直接用于制造；基于梯度的SIMP算法在某些问题中可能会收敛到局部最优解（可在组合优化中使用Optistruct的全局优化功能）。

3. 案例介绍

本文复现了油管中的一个案例——对一个晶胞施加了不同的边界条件，对比了其拓扑优化的结果。原视频采用Abaqus Tosca求解，没有给出具体设置参数和过程，仅仅是结果展示。本文采用Altair Optistruct复现，并将给出具体的参数设置，以及边界条件等，所得结果基本与视频一致，案例文件可在文末获取。

案例针对一个立方体晶胞进行拓扑优化，设置最小尺寸约束为0.6mm，最大尺寸约束为1.2mm，最小化柔度（即最大化刚度），体积分数约束为30%。一共考虑了4种不同的压力边界，获得了不同的优化结果，如下图所示：

不同边界条件对应的单胞优化结果

边界条件1
边界条件2
边界条件3
边界条件4

将得到的单胞结构组合成点阵结构，即可得到不同力学特性的超材料，以边界条件3和边界条件4的结果为例，得到以下点阵结构：

边界条件3拓扑优化所得晶胞组成的点阵结构