Nature子刊：用于外部空气动力学应用的大涡模拟的积木式流动计算模型
2. 绪论
具有变革性的低排放空气/水下交通工具设计和推进系统的采用面临一个重大障碍：整个设计周期中需要进行耗时且昂贵的实验测试。这些测试可能持续数年，耗资数十亿美元。通过计算流体动力学（CFD）进行虚拟测试可能会加速这一过程并降低成本。然而，目前的CFD闭合模型并不符合航空航天工业所需的严格精度要求。这些限制主要来自湍流的复杂性，即流体的混沌和多尺度运动，这导致了复杂的物理现象。
尽管存在这些挑战，新的建模策略有望在全球范围内带来巨大的经济利益，远远超越航空航天工业的范围。使用高精度CFD工具可以促进创新型交通工具设计的开发，节省高达30%的燃料。这一突破将导致成本的大幅降低，仅在交通运输部门每年就可节省数千亿美元。例如，全球海运行业每年大约消耗20亿桶石油。同样，航空和卡车运输行业每年分别消耗约15亿桶和12亿桶石油。此外，仅5%的运输阻力减少预计就能带来相当于将美国当前风能产量翻倍的影响。新的湍流建模技术的实施还具有巨大的潜力来减轻环境问题并减少污染物排放。
在预测和控制方面，CFD领域处于一个具有优势的地位，因为它拥有一个高度精确的流动建模框架：纳维-斯托克斯方程。然而，在实际应用中，涉及的自由度数量在1013到1020之间，使得对所有流动尺度进行直接数值模拟成为不可行的。因此，工业CFD中对湍流的处理主要依赖于雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程的闭合模型。这一方法以多种形式实现，从纯RANS解到混合方法，如分离涡模拟（Detached Eddy Simulation, DES）及其变种。许多RANS模型被开发出来以克服其前辈的局限性，通常通过扩展和校准其系数以补充缺失的物理现象。然而，没有一个实用的模型能够普遍适用于工业界所关注的广泛流动状态范围。
具有挑战性的流动情景示例包括分离流动、顺/逆压梯度效应、激波、平均流动的三维性以及向湍流的过渡等，如图1a所示。在这些情况下，RANS的预测往往不一致且不可靠，尤其是对于代表商业飞机飞行包线的几何形状和条件而言。进一步的CFD经验表明，在高迎角下的飞机模拟中，基于RANS的求解器在预测最大升力和失速的物理机制方面存在困难。结果是，在飞机设计周期的最终阶段所需的风洞实验次数在过去二十年中一直保持在大约十次左右（图1b）。
图1 计算流体动力学（CFD）中的挑战性流动现象和最新进展。(a)飞机上遇到的不同流动现象示意图，这些现象对当前的CFD方法提出了挑战。为了简洁，所有现象都叠加在示意图中；然而，并非所有现象都会同时发生，甚至不一定会发生。(b)设计周期内风洞测试次数随年份的变化。横轴还标记了广泛使用的雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模型的引入。该图改编自参考文献。(c)外部空气动力学中壁面模型（WM）大涡模拟（LES）的壁面和亚网格尺度（SGS）建模的选定里程碑。蓝色文本突出显示了传统（WM）LES的里程碑；红色文本突出显示了基于机器学习的（WM）LES的里程碑。在(c)中，缩写代表：壁面律（LoW），薄边界层（TBL），尺度相似性模型（SSM），动态Smagorinsky模型（DSM），壁面自适应局部涡粘性（WALE），和人工神经网络（ANN）。
在这种背景下，机器学习（ML）作为一种强大的工具，已经在流体力学领域被用来增强现有的湍流建模方法。在过去的二十年里，已经有许多努力致力于使用ML工具开发SGS和壁面模型。大多数基于ML的SGS模型依赖于监督学习，这涉及发现一个函数，该函数基于提供的训练输入输出对将输入映射到输出。早期的方法使用人工神经网络（ANN）来模拟和加速传统但计算量大的SGS模型。最近，SGS模型通过滤波直接数值模拟（DNS）数据训练，以预测所谓的完美SGS项。其他方法包括从最优估计器理论和去卷积算子中推导SGS项，以及从强化学习中推导SGS项。类似的ML方法也被用于通过监督学习为LES设计壁面模型。最初的尝试之一可以在文献中找到。其他例子包括跨向旋转通道流动、周期性丘陵上的流动、具有分离的湍流流动以及存在激波-边界层相互作用的边界层流动，在后验测试中结果不一。最近的研究也利用半监督学习设计壁面模型，尽管这些方法仍然局限于简单的流动配置。
尽管取得了一些进展，基于ML的SGS和壁面模型仍然面临挑战，还未能成为解决CFD湍流建模长期问题的有效解决方案。即使在基于ML的SGS模型首次引入到LES中后的二十年，也仅有一个将基于ML的SGS模型应用于实际飞机配置的示例。这个示例是使用本文所提出模型的一个原型进行的。本研究的目标是引入一个统一的WMLES的SGS和壁面模型，旨在弥合当前预测能力与航空航天工业严格要求之间的差距。
3. 结果
3.1 积木式流动模型
湍流流动的模拟涉及求解动量守恒方程：
以及质量守恒、能量守恒和气体状态方程。在这里，ρ表示流体密度，ui表示第i个速度分量，p表示压力，σij代表粘性应力张量。请注意，方程（1）中重复的指标表示求和。挑战在于在计算网格上数值求解这些方程，并能够捕捉问题中最小的尺度。在大多数实际场景中，由于需要数百亿个网格点，这一任务在计算上变得不可行。通常，经济可行的网格大约由数亿个网格点组成。然而，这些网格不足以捕捉对车辆平均力有显著贡献的最小流动运动。解决方案在于在方程（1）的右侧引入一个校正项，包含SGS闭合模型。校正项考虑了粗网格未解决的小尺度物理现象。
积木式流动模型（BFM）提供了SGS张量τijSGS，解决了固体边界（传统上用壁面模型解决）和这些边界上方流动（传统上用SGS模型解决）所缺失的尺度所带来的挑战。BFM的概述见图2。核心建模假设是，复杂场景中缺失尺度的物理现象可以局部映射到简单流动的小尺度上。在这一前提下，假设存在一组有限的简单流动，称为积木流动（BBFs），它们包含了制定具有普遍适用性的SGS和壁面模型所需的基本流动物理。当前模型建立在文献中开发的先前壁面模型的基础上。该研究的主要结论之一是，开发的壁面模型的主要局限性源于SGS模型的次优性能导致的建模误差。本文介绍的BFM公式通过以一致的方式设计SGS和壁面模型来解决这个问题。BFM与文献的比较可在方法部分找到。接下来，我们讨论BFM的关键组成部分：BBFs、模型架构和训练数据。
3.2 积木流动
积木流动（BBFs）提供了不同流动状态的简单表示，这些状态具有可用的解析尺度的高保真度DNS数据或实验数据。BBFs的配置包括在两个平行壁之间的不可压缩湍流流动。考虑了四种类型的BBFs：分离条件下的壁面湍流，逆压梯度、零压梯度和顺压梯度下的壁面湍流。这些BBFs的示例在图3中进行了展示。
图3 积木流动示例。（从左到右）：受分离、逆压梯度、零压梯度和顺压梯度影响的壁面湍流。训练数据库包含了每种积木流动的多个案例。深蓝色对应于正的流向速度，橙色对应于负的流向速度。实线和箭头表示平均速度剖面。
有意排除具有额外复杂性的案例（如翼型、机翼、凸起等）的原因在于，BBFs应概括出基本的流动物理，以预测更复杂的场景。因此，目标是避免案例过拟合，例如，仅因为模型在类似的机翼上进行了训练，就能正确预测机翼上的流动。请注意，流动的最大尺度是由计算网格解析的，而BBFs则代表较小的流动特征。这证明了BBFs在几何上较简单，而非使用更复杂的案例。
此外，BBFs的计算成本较低，这使得可以收集大量高保真度数据用于训练，从而有效探索多种流动状态。这一点很重要，因为BFM必须学习控制问题的无量纲输入和输出的物理尺度，而不仅仅是拟合一组案例。
3.3 模型架构
积木式流动模型（BFM）通过三个前馈人工神经网络（ANNs）实现（见图2）。第一个ANN是从Lozano-Durán和Bae提出的基于ML的壁面模型改编而来的，其任务是预测固体边界处的壁面剪应力τw。第二个ANN预测与固体边界相邻的控制体积的SGS应力张量，而第三个ANN则对其余控制体积进行相同的预测。这些ANNs的输入是速度梯度张量的对称部分和反对称部分的局部不变量值。此外，第一个和第二个ANN还包含流动相对于固体边界的壁面平行速度信息。选择这些输入是为了确保在参考系的恒定平移和旋转下的不变性以及伽利略不变性。
这些ANNs的输出是通过涡粘性得到的SGS应力张量值。第一个ANN的输入和输出变量通过粘性尺度（即运动粘性和局部网格尺寸进行无量纲化。对于第二个和第三个ANN，则使用半粘性尺度（基于粘性与第一个不变量本身）进行无量纲化。BFM使用CUDA编程语言为GPU架构开发，与CPU相比，这在评估ANNs方面特别高效。
3.4 数值一致的训练数据
训练数据是通过一种包含“精确平均值”的SGS/壁面模型的方法生成的。该方法称为E-WMLES，涉及使用一种控制机制进行WMLES（壁面模型大涡模拟），该机制识别出所需的SGS张量，以预测流动中感兴趣的特定平均统计量。此处考虑的统计量是平均速度剖面和平均壁面剪应力，这些统计量是从BBFs的高保真数据中获得的。BBFs使用与BFM实现相同的数值流动求解器和网格策略，通过E-WMLES进行模拟。通过这些模拟生成的数据用于训练BFM，确保模型与流动求解器的数值方案一致。
E-WMLES方法与使用过滤或粗粒化高保真数据训练SGS模型的常规做法有所不同。我们选择E-WMLES方法的原因在于已知的事实，即WMLES中的SGS张量与从纳维-斯托克斯方程导出的过滤项不一致。这一局限性在外部空气动力学应用中尤为重要，因为WMLES中使用的典型网格尺寸比流动的最小长度尺度粗糙几个数量级102到104倍）。在这些情况下，数值误差变得与建模误差相当，两者都必须由SGS和壁面模型加以考虑，以获得准确的预测。
3.5 验证案例
我们在五种情况下评估了积木式流动模型（BFM）的性能：湍流通道流、湍流管流、凸起上的分离流、简化的飞机模型以及处于着陆配置的真实飞机。结果与使用相同网格且采用已建立的SGS和壁面模型的模拟结果进行了比较。用于比较的模型是动态Smagorinsky SGS模型（DSM）或Vreman SGS模型（VRE），结合平衡壁面模型（EQ）。这些模型分别标记为DSM-EQ和VRE-EQ。
在以下的验证案例中，使用BFM进行WMLES的计算成本大约是DSM-EQ的0.9倍和VRE-EQ的1.1倍。
3.6 湍流通道流
第一个验证案例是湍流通道流，这是一个经典的流动配置，其中流动被限制在两个平行壁之间，如图3中的一个BBF所示。需要注意的是，虽然此案例是训练数据集的一部分，但由于基于ANN的模型与求解器的数值方案之间可能存在不一致性，不能保证BFM在后验测试中表现良好。因此，这个案例用于展示我们在不同雷诺数和网格分辨率下，确保数值一致性的策略在实际WMLES中是成功的。我们还利用这个案例展示了BFM在比训练时更精细的网格分辨率下的鲁棒性。
所考虑的摩擦雷诺数为Reτ≈2000和4200，其中Uτ是摩擦速度。通道由流向平均压强梯度驱动，使得Rec=48500和112500，Uc代表通道中心线的平均流向速度。测试了三种空间各向同性的网格分辨率：Δ=0.05h,0.1h和0.2h，其中第一个没有包含在训练数据集中。
BFM准确预测了平均速度剖面（图4）和平均壁面剪应力，在所考虑的雷诺数和网格分辨率下，其精度达到1%到6%。
图4 湍流通道流中的平均速度剖面作为壁面法向距离的函数。图a表示雷诺数Reτ=2000的网格尺寸Δ=0.2h和0.1h的情况。图b表示雷诺数Reτ≈4200的网格尺寸Δ≈0.2h和0.1h的情况；图c表示雷诺数Reτ≈4200的网格尺寸Δ≈0.05h的情况。虚线是直接数值模拟（DNS）数据，蓝色符号是积木式流动模型（BFM）。在图a和图b中，圆圈表示Δ≈0.2h，三角形表示Δ≈0.1h。
3.7 湍流管流
第二个验证案例是管道中的湍流流动（见图5a）。我们使用此案例来评估BFM在雷诺数远高于其训练范围时的性能。摩擦雷诺数为Reτ=39500，其中R是管道半径，流动是不可压缩的。假设管道在流向方向上是周期性的，长度为7.5R。与湍流通道流相似，管道由流向平均压强梯度驱动，使得Rec=127万，其中Uc代表管道中心线的平均流向速度。网格是空间各向同性的（见图5a），网格大小为Δ=0.1R，这大约包含30000个网格点。
我们在相同的流动条件和计算网格下评估了BFM、DSM-EQ和VRE-EQ的性能。结果与实验数据进行了比较。图5b显示了平均速度剖面，表明BFM与实验结果相比DSM-EQ和VRE-EQ有更好的一致性。同样，BFM预测的平均壁面剪应力与实验相比误差在3%以内，而DSM-EQ和VRE-EQ分别高估了平均壁面剪应力22%和13%。
图5 湍流管流。图a显示了雷诺数Reτ=39500下的管流示意图和流动可视化。径向和轴向切片描绘了网格结构和瞬时流向速度。图b显示了从壁面r/R=0到管道中心线r/R=1沿径向方向的平均速度剖面。符号表示积木式流动模型（BFM）（蓝色圆圈）、动态Smagorinsky模型（DSM）（红色方块）和Vreman模型（VRE）（黄色三角形）。虚线表示实验值。DSM和VRE使用的壁面模型是平衡壁面模型（EQ）。
3.8 凸起上的分离流动
第二个验证案例是由波音公司和华盛顿大学设计的高斯凸起流动，如图6所示。该测试由一个雷诺数为360万、马赫数为0.17的三维锥形凸起组成，基于自由流特性和沿展向的凸起长度L。该测试案例已被证明是RANS和LES社区的一个极具挑战性的案例，因为分离泡的预测不准确，且随着网格细化的解收敛性非单调（参见方法部分）。
我们评估了BFM在预测平均速度剖面以及壁面处的平均压力和摩擦（分别由无量纲系数 Cp和Cf表征）方面的性能。模拟包含大约900万个控制体积。使用DSM-EQ和VRE-EQ进行了类似的WMLES模拟。数值结果与实验数据进行了比较。图6d和6e显示了沿凸起中心线x/L的Cp和Cf的演变。值得注意的是，与DSM-EQ和VRE-EQ相比，BFM在分离区域x/L>0.1的Cp和Cf演变预测更为准确，而DSM-EQ和VRE-EQ甚至未能预测出流动分离。BFM的改进预测还延伸到凸起顶点x/L=0沿展向的压力（如图6f所示）和平均速度剖面（如图6g所示）。BFM的平均速度预测精度可达3%，而DSM-EQ和VRE-EQ的结果相似，均高估了平均速度30%以上。
图6凸起上的分离流动。(a)高斯凸起的示意图；(b)网格结构；(c)在z/L=0平面上的瞬时流向速度。自由流的速度为U。请注意，图中未显示流向方向上的整个域。(d)壁面压力系数和(e)壁面摩擦系数，沿z/L=0平面。(f)沿x/L=0平面的壁面压力系数。(g)在z/L=0的不同流向位置的平均速度剖面。在(d–g)中，实线分别表示积木式流动模型（BFM）（蓝色）、动态Smagorinsky模型（DSM）（红色）和Vreman模型（VRE）（黄色）。白色圆圈为实验值。DSM和VRE使用的壁面模型是平衡壁面模型（EQ）。
同样，BFM还准确预测了分离的流动拓扑。如图7所示，它展示了凸起下游的一个缩小窗口，BFM捕捉到了远离表面的反向旋转涡流。相比之下，VRE-EQ预测了完全不同的流动拓扑。DSM-EQ的结果（未显示）与VRE-EQ相似。然而，在凸起上游区域x/L<0，所有模型在预测Cf方面的准确性较低，仍有改进空间（见图6e）。
图7 凸起上的平均流动。颜色映射表示平均流向速度，流线显示在 x/L=0.208x/L = 0.208x/L=0.208 平面内的速度。（a）实验结果，（b）积木式流动模型（BFM），（c）使用平衡壁面模型的Vreman模型（VRE-EQ）。请注意，坐标轴不按比例。
3.9 着陆配置下的飞机
第三个验证案例是处于着陆配置下的飞机，具体来说是NASA的通用研究模型高升力（CRM-HL）。该案例被航空航天界用作评估不同CFD方法能力的金标准。CRM-HL是一个几何上逼真的飞机模型，包括与展开襟翼和缝翼相关的支架，以及安装在机翼下方的贯穿式发动机舱（见图2）。基于平均气动弦长和自由流速度，飞机的雷诺数为549万，自由流马赫数为0.2。
模拟使用了一个大约3000万个控制体积的网格。考虑了四个攻角：α=7.05°、11.29°、17.05°和19.57°。图2包含了模型几何形状、网格插图以及BFM预测的壁面剪应力的可视化。图8a–c显示了作用在飞机上的力，用升力CL、阻力CD和俯仰力矩CM系数表征，分别针对BFM、DSM-EQ和VRE-EQ。结果与实验数据进行了比较。三个图应整体解释，因为最近的研究表明，由于案例的复杂性，CL和CD的准确预测可能是由于在气动力积分过程中误差相互抵消所致。这个问题在俯仰力矩中不太相关，因为俯仰力矩对力的分布敏感，因此不太容易受到误差抵消的影响。总体而言，BFM在预测这三个气动系数方面提供了类似或更高的精度，特别是在高攻角失速和后失速阶段。
需要注意的是，尽管DSM-EQ和VRE-EQ在α=7.05°时对升力和阻力的预测较为准确，但它们在俯仰力矩的预测上比BFM更差。对机翼沿翼展方向的剖面压力系数Cp的检查（如图8d、e所示的两个翼展位置）进一步证明，BFM比DSM-EQ和VRE-EQ提供了更准确的预测。改进在襟翼（机翼弦长的最后20%）处更为显著。结果仍然远未达到满意，特别是在俯仰力矩方面，显然还有进一步改进的潜力。
尽管如此，值得注意的是，BFM从未“见过”类似飞机的流动，也未在类似机翼或翼型的案例中进行过训练。这表明BFM方法具有提供超越简单回归的预测能力。
3.10 简化飞机中的交汇流动
我们使用NASA交汇流实验的数据评估BFM的性能。该实验涉及一个简化的飞机配置，如图9所示，特点是在机身与机翼后缘之间的交汇处发生流动分离。雷诺数基于机身长度L=4839.2 mm和自由流速度计算，得到Re=2080万。此外，自由流马赫数为M=0.189，攻角为α=5°。网格的一个截面（包含大约3000万个网格点）如图9d所示。该分析补充了先前讨论的CRM-HL案例，因为交汇流实验包含了多个位置的平均速度剖面数据，而这些数据在CRM-HL中不可用。
与升力和阻力系数等积分测量不同，平均速度剖面不易受到误差抵消的影响，因此能够更详细地评估模型的表现。
图8：着陆配置下的飞机。(a)升力系数，(b)阻力极曲线，(c)俯仰力矩系数。黑线表示实验结果，蓝色圆圈表示积木式流动模型（BFM），红色方块表示动态Smagorinsky模型（DSM），黄色三角形表示Vreman模型（VRE）。DSM和VRE使用的壁面模型是平衡壁面模型（EQ）。(d)翼弦上33%翼展位置的压力系数，(e)翼弦上55%翼展位置的压力系数，攻角为α=17.05°。弦长位置归一化为截面弦长ci。空心圆表示实验结果，蓝色圆圈表示BFM，红色和黄色加号分别表示DSM-EQ和VRE-EQ。
图9：简化飞机中交汇流动的平均速度剖面。探测点位置为：(a)机身上游区域x=1168.4 mm，z=0 mm），(b)机翼-机身连接处x=2747.6 mm；y=239.1 mm），(c)机翼-机身连接处靠近后缘x=2922.6 mm；y=239.1 mm。符号表示：积木式流动模型（BFM）（蓝色圆圈）和使用平衡壁面模型的Vreman模型（VRE-EQ）（黄色三角形）。(d)NASA交汇流模型，指示探测点的近似位置。(e)机翼处的网格截面。
使用BFM和VRE-EQ进行了壁面模型大涡模拟（WMLES）。图9a–c显示了在三个不同位置的流向U和展向W速度分量的结果，这些结果与实验测量值进行了比较。图中的符号表示网格点的实际位置。在A和B位置，BFM给出了准确的结果，相比VRE-EQ有明显改进。BFM在C位置的预测也有所改善。然而，这两个模型都未能捕捉到流动分离。考虑到分离区域的厚度在壁面法向方向上仅由两个网格点表示，这一失败并不令人意外，因此准确预测非常具有挑战性。尽管存在这一局限性，在所有三个位置相同的网格分辨率下，BFM仍然比VRE-EQ提供了更好的平均速度剖面预测。使用DSM-EQ（未显示）进行的WMLES结果稍微比VRE-EQ的预测差一些。
4. 讨论
4.1 BFM在WMLES中的未来机会
BFM有望在航空航天行业的关键重大挑战的解决中取得进展。这些挑战包括模拟飞机在其整个飞行包线中的行为，以及解决非设计状态下涡扇发动机的瞬态问题——这两个问题都在NASA的CFD 2030愿景报告中被重点提到。此外，BFM在“分析认证”中也可能发挥关键作用，即开发用于飞机和发动机认证的基于仿真的符合性方法。这标志着航空航天行业期待已久的里程碑，预计“分析认证”将为设计过程带来数十亿美元的巨额成本节约。
与之前的模型相比，BFM在解决上述挑战方面的一个显著优势在于其通过BBF数据库适应各种流动状态的能力。当前版本的BFM包含了分离流动以及零、逆和顺压梯度的影响。然而，通过扩展积木数据库来纳入额外的流动物理现象的过程是可扩展的，这是目前的SGS/壁面模型所不具备的能力。在方法部分中，针对高斯凸起的实验结果说明了在BFM训练集中排除某些BBF的影响。未来版本的BFM可能会考虑包括层流、可压缩性效应、激波、壁面粗糙度以及层流到湍流的过渡等BBF。我们小组已经在着手努力将这些新的物理现象纳入其中。
最后，BFM的机器学习性质还为不确定性量化和自适应网格细化带来了其他机会。这些可以通过根据实际输入数据与BFM训练数据的相似性来计算置信度得分来实现。这一功能已经在BFM的初步版本中测试过，该版本仅包含一个壁面模型。研究表明，置信度得分可以通过输入数据与训练集中最近样本的距离来确定。如果输入数据看起来不寻常，模型会分配一个较低的置信度得分，表明该流动是陌生的，与数据库中的任何知识都不一致。置信度得分较低的区域可以用于辅助随后的模拟中的自动网格细化，识别需要额外积木块的需求，并进行不确定性量化。
4.2 结论
我们引入了用于大涡模拟的积木式流动模型（BFM）。该模型旨在解决航空航天行业的CFD中遇到的挑战，特别是对高精度和稳健性解决方案的需求，同时保持合理的计算成本。BFM的核心假设是，复杂流动的亚网格尺度物理现象可以通过更简单的典型流动的物理现象有效表示。BFM通过三个用于GPU架构的前馈人工神经网络（ANNs）实现，可适用于任意复杂的几何形状。与之前的模型不同，BFM的训练数据来源于控制WMLES（壁面模型大涡模拟），并使用一个“精确”的模型来预测感兴趣的平均量。这种方法确保了与求解器的数值离散化和网格结构的一致性。我们已经证明，在这里考虑的网格分辨率下，BFM在简单和复杂场景中都能匹配或改善传统SGS和壁面模型的预测。
在WMLES中实现真正的革命性改进需要在数值方法、网格生成和壁面/SGS建模方面取得进展。BFM通过设计与数值方法和网格一致的SGS/壁面模型，解决了所有这些方面的问题。BFM的模块化特性为开发在不同场景中具有广泛适用性的SGS/壁面模型开辟了新的机会。实质上，BFM提供了一个能够准确表征各种流动物理的单一模型，消除了针对特定流动类型的多个专用模型的需求。为了增强模型性能，我们将继续训练未来版本的BFM，增加更多积木块，以涵盖更丰富的流动物理和网格分辨率，从而提高其稳健性。
翻译转载自：《Nature Communication》: "Building-block-flow computational model for large-eddy simulation of external aerodynamic applications"
