我所理解的张量：协变与逆变基
继续我们之前的内容，在有限元推导中有一个特别重要的概念：协变基与逆变基，这在曲面几何中也特别常用。很多会有限元算法的人也多少会一些计算几何，或者反过来，很多新的单元算法就是基于曲面几何+有限元的概念进行推导的，比如一大堆基于曲面几何的壳单元算法，比如考虑摩擦接触算法等等。
所以今天我们就来讲一下协变基与逆变基，我们来看一下我们之前对于张量的一些定义，比如对于一阶段张量
对于二阶张量
这里面其实都隐含着一个假设，那就是 为一组正交基底，我们通常所用的笛卡尔坐标系的基底就是正交且单位长度的，这种正交的基底有如下的性质：
其中 为kronecker delta，在 的时候为1， 的时候为0，这也就是我们通常所说的两个垂直的向量点积为0，单位向量自己对自己的点积为1。
那么现在，假如我们基向量之间并不正交，且并不保证是单位向量，我们将如何构建基于这组“基向量”的表达呢?
我们来看以下这个图，原始的笛卡尔坐标系下的两个基向量 与 为一组正交基，而我们现在构造另一组 与 ，如图中红色箭头所示，很明显这组基，并不相互正交，长度也并不是单位1，我们可以认为这组基是“瞎选”的，是随便给出来的，是怎么方便怎么来的。我们给这组基底，起名为“协变基”，用下标进行标识。
那么如何用这对协变基表达我们的向量 呢，这里我们就引入“逆变基”，基于上述协变基，我们构造另一对基向量，满足如下公式
那么我们就把 称为“逆变基”，用上标表示。这里 与 如上图蓝色箭头所示，同样可以看到他俩也是并不正交，长度也不是单位1。
那么我们的向量现在可以表示为
其中 称为逆变分量，
该向量也可以表示为
其中 称为协变分量， 。
这里可以总结为，逆变分量和协变基在一起，协变分量和逆变基在一起，一个下标总对应一个上标。以上具体的证明过程大家可以在任何一本张量教材中看到，也很简单，故不再赘述。
那看到这大家可能会疑惑，比如我当年上学的时候我就疑惑：学这玩意有啥用？而很多教材都是先讲定理，就算看明白了推导也是云里雾里。这里我结合我自己这些年对他的理解我总结以下几条用处：
很多时候取得一组正交基很难，比如针对曲面进行积分，你的基底大概率是3D曲面的两个切线方向（通过曲面微分得到），而这两个未必正交 有了协变、逆变之间的关系我们可以像处理通常的两个向量点乘一样，形如 , 只要是注意分别采用协变分量与逆变分量 原本是正交的基底，在大变形下可能变得不是正交（剪切、拉伸、旋转），那么采用上述协变、逆变的描述可以保证从前到后用一套通用的公式 对于我们常用的张量，比如应力，其实更为合理的表达为 ，这样就更为通用
由于篇幅的限制今天就先到这，后续讲一下两者的变换，与度量张量等。
