“无视”材料本构复杂程度—摄动法Abaqus UMAT子程序开发

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作者优秀: 优秀教师/意见领袖/博士学历/特邀专家/独家讲师
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一、写在文前

九千CAE是一名仿真秀优秀讲师，博士毕业于985高校，现从事力学仿真研究，有9年有限元仿真经验，擅长材料本构开发，ABAQUS子程序开发，ABAQUS-Python二次开发，Hypermesh-ABAQUS联合仿真。

他原创首发独家频教程《ABAQUS UMAT 材料子程序开发59讲：经典材料本构UMAT编程实例详解》与《ABAQUS VUMAT材料子程序开发48讲：自学线弹性、线性粘弹、弹塑性和热力耦合JC弹塑性本构》已入选了仿真秀平台原创精品课，超过上百人订阅，深受用户好评。

11月3日20时（周日），九千CAE老师根据订阅用户的交流，将再次为订阅用户免费加餐直播《摄动法在ABAQUS全量超弹本构UMAT编写中的应用》，本文先对报告内容及其中涉及的理论基础进行介绍。欢迎非订阅用户免费参加，还可以向讲课嘉宾提问。

二、使用UMAT来开发新的材料本构

ABAQUS作为一款大型通用的固体力学范畴的有限元软件，以其优异的可扩展性著称。其求解器提供了十分丰富的子程序接口，用户可以利用这些子程序接口进行二次开发，实现定制化的功能。这些子程序中，应用最为广泛的当属UMAT，用户可以利用UMAT来开发新的材料本构。

然而，UMAT的开发难点不在编程本身，而在本构的力学推导。一方面，开发者需要推导柯西应力表达式来实现应力更新。另一方面，开发者还要额外推导本构的切线刚度矩阵。后者往往跟更加困难，且难度随着本构的复杂程度增加而增加。

那么，有没有方法能否降低甚至规避切线刚度的推导呢？这就不得不请出今天的主角——“摄动法”了。本文所述摄动法应用于ABAQUS UMAT子程序开发，旨在用数值方法代替解析方法，从而规避切线刚度的推导。由此，摄动法最大的优势在于无视本构的复杂程度，本构越复杂，其效用越大。

下文中我们将先后讲解全量超弹本构UMAT的实现中摄动法的原理和应用。

三、摄动法计算切线刚度矩阵

由于超弹本构的切线刚度矩阵推导复杂，采用数值方法（摄动法）计算切线刚度矩阵。ABAQUS UMAT中采用Jaumann应力客观率

表明上述变形梯度的摄动只引起变形，不引起刚性转动。

以上就是摄动法的理论基础啦，一言以蔽之，其通过对应变的逐项摄动来确定刚度矩阵的各项。

四、摄动法在Neo-hookean超弹UMAT中的应用

我们后面主要以Neo-hookean超弹本构为例讲解摄动法的妙用。首先Neo-hookean超弹本构的应变能密度函数为

如果按找常规方法去推导切线刚度矩阵

表示为矩阵形式，并注意工程应变表述为

其中Jacobian矩阵各列分别表示为

由此可见，仅看推导后的切线刚度矩阵表达式就已经令人头秃，更勿谈推导过程了。并且，Neo-hookean是形式最为简单的超弹本构了，对于更复杂的超弹本构，其推导往往无从下手。

然而，依照第一部分提出的摄动法，我们可以绕过这部分推导，具体的代码实现方法会在直播中做更详细的介绍。这里我们先为大家展示基于编写的Neo-hookean超弹本构UMAT计算的模型，如下图。

从仿真结果看子程序实现了0.36的最大主应变（名义）。笔者同时也对比了ABAQUS内置Neo-hookean本构的结果，如下图。

可见，两者最大应力误差为0.258%，表明子程序具有足够的精度。值得注意的是，子程序计算的模型收敛性略差于内置模型，这有待于进一步分析。

五、摄动法在HGO各向异性超弹UMAT中的应用

前面我们谈到摄动法的优势是无视超弹本构的复杂程度，笔者也利用摄动法实现了HGO各向异性超弹的UMAT。我们将UMAT应用于血管受内压变形的仿真案例中，并且与ABAQUS内置的HGO模型计算结果对比如下，两者同样具有一致的计算结果。以上便是摄动法降低UMAT难度的理论基础和实现案例了，欢迎同学们观看我的直播，了解更多的实现细节。