力学概念| 子结构与超单元

子结构技术是大型结构有限元分析的重要工具之一,它是将复杂的整体结构分成较小、较易于处理的子结构的一种算法。每一个子结构的模型建立都是独立的,其自由度按静力凝聚法缩减,然后将缩减的子结构矩阵重新组装起来,并求解以得到整体结构的解。

子结构方法中,单元分析的方法与普通有限元方法一样,但将单元刚度集成整体刚度的工作分为两步进行:先由单元刚度集成子结构的刚度,再由子结构的刚度集成得到结构的整体刚度。因此,子结构的基本分析思路如下

生成子结构刚度矩阵

▲图1

图1为一悬臂梁在使用子结构分析技术时划分的超单元。主自由度用于定义超单元与非超单元以及超单元与超单元的边界,使用静力凝聚法取消内部自由度就可得到子结构的等价减缩刚度矩阵和超单元载荷向量。

对于任意结构总有下列平衡方程

式中:    为整体刚度矩阵,    为节点位移向量,    为节点力向量。

将以上方程分为两组，一组包含边界节点的位移向量(下标为b)，一组包含其余的内部节点位移向量(下标为i)，于是有

展开式(2)得

由式(4)得:

(5)代入(3)可得等效的平衡方程:

其中

求解边界节点位移

将式(7)的超单元刚度矩阵和超单元载荷向量代入总体结构的整体刚度矩阵和整体节点力向量，可求得边界节点位移    

求解内部节点位移

将求得的边界节点位移    代入式(4)或式(5)中就可求得内部节点位移    

▲图1

如图2a所示的结构，只考虑节点转动，参考

力学概念| 矩阵位移法还可以这样用

的方法，选取图2b的折杆作为子结构。设    节点位移向量为    ，则平衡方程为

为了消除内部自由度，(8)写成分块矩阵

记为

按照上述方法可得到折杆的超单元刚度矩阵。