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【ABAQUS-UMAT第7课】HGO各向异性超弹UMAT

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  • HGO超弹本构及应力应变关系

    • 应变能密度函数

    • 应力推导

  • 摄动法计算切线刚度矩阵

  • ABAQUS UMAT中变形梯度的处理

    • 局部坐标系下的变形梯度描述

    • ABAQUS UMAT中变形梯度

HGO超弹本构及应力应变关系

应变能密度函数

超弹模型假设一应变能密度函数    ,若该函数与取向有关,则相应的本构为各向异性超弹本构。HGO超弹本构的应变能密度函数如下

 
 
 
 
 
 

注意

 

应力推导

 
 

考虑

 
 
 
 
 

不变量关于变形梯度的偏导

由于应变能密度函数是表示为不变量的函数,所以先推导不变量关于变形梯度的偏导。

 
 
 
 
 
 
 
 

应变能密度关于不变量的偏导

 
 

,则

 

注意,上式中每有一项    ,对应的求和项应划去。合并两种情形

 
 

若    ,则

 

,则

 

合并两种情形有

 

注意,上式中没有求和符号

 

应力表达式

 

各向同性部分

 

各向异性部分

 

体积变形部分

 

摄动法计算切线刚度矩阵

由于HGO的切线刚度矩阵推导复杂,采用数值方法(摄动法)计算切线刚度矩阵。ABAQUS UMAT中采用Jaumann应力客观率

 

其中    为旋转率张量,    为变形率张量。由于    ,有

 

对变形梯度ij项进行摄动

 

其中    为单位基矢。则

 
 

表明上述变形梯度的摄动只引起变形,不引起刚性转动。

 

同时

 

以         为例

 

 

故每摄动一次,可以确定刚度矩阵中的一列,共需摄动6次。最终

 

ABAQUS UMAT中变形梯度的处理

局部坐标系下的变形梯度描述

系统坐标系描述下,变形梯度张量定义为

 

其中    和    分别是参考构型和当前构型下某一物质点的位置向量,注意两者都是描述在系统坐标系下的。变形梯度极分解为

 

其中    是右伸长张量,    是左伸长张量,    是旋转张量,描述刚体转动。设初始的单元局部坐标系为    ,变形后的共旋局部坐标为    ,其中    。则定义相应的变形梯度

 

若将变形梯度完全表示在初始单元局部坐标系下

 

由于局部坐标是共旋的,有    ,则有    ,从而有

 

 

由于    是正交矩阵,有    ,则

 

考虑极分解    ,有

 

ABAQUS UMAT中变形梯度

采用三维实体单元且设置局部坐标系时,ABAQUS在UMAT中传入的变形梯度为    

 

因此,在编写相应的子程序时,需要先将    分解获得    ,并将超弹应力表达式中的    用    代替。



来源:易木木响叮当
AbaqusUM理论
著作权归作者所有,欢迎分享,未经许可,不得转载
首次发布时间:2024-10-30
最近编辑:1月前
易木木响叮当
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