基于SVD的图像压缩
奇异值分解(SVD) 奇异值分解（SingularValueDecomposition，简称SVD）是线性代数中一种非常重要的矩阵分解技术，广泛应用于信号处理、图像处理、统计学、计算机科学等领域。它将一个复杂的矩阵分解为三个简单矩阵的乘积，这三个矩阵分别是： 1、左奇异向量矩阵（U矩阵）：一个正交矩阵，其列向量是原矩阵的左奇异向量。 2、奇异值对角矩阵（矩阵）：一个对角矩阵，对角线上的元素是原矩阵的奇异值，这些奇异值是非负的，并且按降序排列。 3、右奇异向量矩阵（矩阵）：一个正交矩阵，其列向量是原矩阵的右奇异向量。 对于任意一个的矩阵，其奇异值分解可以表示为： 其中，是一个的正交矩阵，是一个对角矩阵，是一个的正交矩阵，是的转置。 奇异值分解的步骤大致为： 1、计算奇异值：首先计算矩阵的奇异值，即求解特征值问题或的非负平方根。 2、构造奇异值矩阵：将奇异值按降序排列，构成对角矩阵。 3.构造奇异向量矩阵：计算与的关系，得到左奇异向量和右奇异向量，分别构成矩阵和。 奇异值分解具有以下性质和应用： 1、降维：通过保留最大的几个奇异值和对应的奇异向量，可以对矩阵进行降维，这在数据压缩和特征提取中非常有用。 2、噪声过滤：在信号处理中，奇异值分解可以用来过滤噪声，因为噪声通常对应较小的奇异值。 3、数据近似：通过保留最大的几个奇异值，可以得到原矩阵的最佳近似，这在数据压缩和图像处理中非常有用。 4、矩阵伪逆：奇异值分解可以用来计算矩阵的伪逆，这对于解决线性方程组的最小二乘问题非常有用。图像压缩步骤 奇异值分解（SVD）在图像压缩中的作用是通过减少矩阵的秩来实现压缩，同时尽量保留图像的关键视觉信息。具体来说，SVD在图像压缩中的应用可以分为以下几个步骤： 1、图像矩阵转换：首先将图像表示为一个矩阵，其中每个像素值对应矩阵的一个元素。对于彩色图像，通常需要将其转换为灰度图像或分别对RGB三个通道进行处理。 2、应用SVD：对图像矩阵进行奇异值分解，得到三个矩阵。 3、选择奇异值：由于奇异值按从大到小的顺序排列在对角矩阵中，较大的奇异值代表了图像的主要特征，而较小的奇异值则代表了细节和噪声。在压缩时，可以选择保留最大的个奇异值。 4、重构图像：使用保留的个奇异值和对应的和矩阵中的列向量，重构图像矩阵。具体来说，计算，其中和分别是和的前列，Σ𝑘Σk是由前个奇异值构成的对角矩阵。 5、压缩效果和质量权衡：通过选择不同的值，可以控制压缩的程度和图像质量之间的平衡。较小的值意味着更高的压缩率，但可能会丢失一些图像细节；较大的值则保留了更多的图像信息，压缩率较低。SVD压缩图像实例 这里以一个图片为例，图片选自电影《荒岛余生》，截取主角快要精神崩溃时刻懵逼的场景，后面还有主角的精神支柱：Vilson，（剧透一下，后来主角决意离开小岛，扎了个皮筏，在海上漂浮的过程中，Vilson被大浪吹走了，主角万念俱灰，躺在皮筏上面等死，最后........。） 原图片为： 帖子给出了详细的代码，下面逐行讲解代码。clc;clearall;%%%读取图像img=imread('island.png');%将图像转换为灰度图像，如果它不是灰度图ifsize(img,3)==3img=rgb2gray(img);end%将图像转换为双精度浮点数格式img_double=im2double(img); 上面的代码将图片读进内存，但是matlab的imread函数读进的图片数据类型为unit8，因此需要将数据处理为浮点型数组，方便后续进行矩阵分解。%对图像进行奇异值分解[U,S,V]=svd(img_double,'econ'); 这里没有自己写算法进行分解，直接调用了matlab的svd函数，返回左右奇异值矩阵和对角矩阵。%选择奇异值的数量来压缩图像k=50;%选择一个较小的k值来压缩图像 k就是我们选择的前阶特征值，这里选择了50，后续我会修改值，观察不同的k值对压缩后的图片质量影响。%选择奇异值的数量来压缩图像U_k=U(:,1:k);S_k=S(1:k,1:k);V_k=V(:,1:k); 选取前阶特征值对左右奇异值矩阵和对角矩阵重构。%重构压缩后的图像img_compressed=U_k*S_k*V_k'; 生成重构后的矩阵，即生成保留前阶特征值的图片。%显示原始图像和压缩后的图像subplot(1,2,1);imshow(img_double);title('OriginalImage');subplot(1,2,2);imshow(img_compressed);title(['CompressedImagewithk=',num2str(k)]); 上面的代码用与显示压缩前后的矩阵。 这张图片经过处理后的浮点矩阵大小为，因此，左奇异矩阵的大小为，右奇异矩阵的大小为，对角矩阵大小为。 这张图片经过奇异值分解，共计849个特征值，我们依次保留不同的特征值，分别保留了25、50、75、100、125、15、175、200，比较压缩后的图片质量。 下面给出了原图与压缩后的图片对比图，每张图片的左边均是原图，右面是压缩后的图片，图片下方标注了相应的压缩程度。 25/849 50/849 75/849 100/849 可以发现，从这里开始，如果没有仔细分辨，已经看不出来原图和压缩后的图片的细微区别，这时截取的特征值占比为11.78%，压缩了将近百分之九十！ 125/849 150/849 175/849 200/849 从上面图片的对比中发现，采用SVD对图像进行压缩，仅仅截取十分之一的特征值就达到了接近原图效果的压缩图。可见该方法在图像处理方面有极大的应用前景，并且已经有了极为广泛的应用。详细的matlab代码 下面给出了详细的matlab代码，使用的时候注意修改图片的名字。clc;clearall;%%%读取图像img=imread('island.png');%将图像转换为灰度图像，如果它不是灰度图ifsize(img,3)==3img=rgb2gray(img);end%将图像转换为双精度浮点数格式img_double=im2double(img);imwrite(img_double,'origin.png');%对图像进行奇异值分解[U,S,V]=svd(img_double,'econ');%选择奇异值的数量来压缩图像k=200;%选择一个较小的k值来压缩图像U_k=U(:,1:k);S_k=S(1:k,1:k);V_k=V(:,1:k);%重构压缩后的图像img_compressed=U_k*S_k*V_k';%显示原始图像和压缩后的图像subplot(1,2,1);imshow(img_double);title('OriginalImage');subplot(1,2,2);imshow(img_compressed);title(['CompressedImagewithk=',num2str(k)]);%如果需要，保存压缩后的图像imwrite(img_compressed,string(k)+'.png'); 上面的东西写的花里胡哨的，可是，这是有限元领域的公众号啊！SVD跟有限元又有什么关系呢！？ 列位看官，敬请期待！喜欢就点个关注呗来源：有限元先生
