基于SVD的图像压缩
奇异值分解(SVD)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种非常重要的矩阵分解技术，广泛应用于信号处理、图像处理、统计学、计算机科学等领域。它将一个复杂的矩阵分解为三个简单矩阵的乘积，这三个矩阵分别是：
1、左奇异向量矩阵（U矩阵）：一个正交矩阵，其列向量是原矩阵的左奇异向量。
2、奇异值对角矩阵（ 矩阵）：一个对角矩阵，对角线上的元素是原矩阵的奇异值，这些奇异值是非负的，并且按降序排列。
3、右奇异向量矩阵（ 矩阵）：一个正交矩阵，其列向量是原矩阵的右奇异向量。
对于任意一个 的矩阵 ，其奇异值分解可以表示为：
其中， 是一个 的正交矩阵， 是一个对角矩阵， 是一个 的正交矩阵， 是 的转置。
奇异值分解的步骤大致为：
1、计算奇异值：首先计算矩阵 的奇异值，即求解特征值问题 或 的非负平方根。
2、构造奇异值矩阵：将奇异值按降序排列，构成对角矩阵 。
3.构造奇异向量矩阵：计算 与 的关系，得到左奇异向量和右奇异向量，分别构成矩阵 和 。
奇异值分解具有以下性质和应用：
1、降维：通过保留最大的几个奇异值和对应的奇异向量，可以对矩阵进行降维，这在数据压缩和特征提取中非常有用。
2、噪声过滤：在信号处理中，奇异值分解可以用来过滤噪声，因为噪声通常对应较小的奇异值。
3、数据近似：通过保留最大的几个奇异值，可以得到原矩阵的最佳近似，这在数据压缩和图像处理中非常有用。
4、矩阵伪逆：奇异值分解可以用来计算矩阵的伪逆，这对于解决线性方程组的最小二乘问题非常有用。
图像压缩步骤
奇异值分解（SVD）在图像压缩中的作用是通过减少矩阵的秩来实现压缩，同时尽量保留图像的关键视觉信息。具体来说，SVD在图像压缩中的应用可以分为以下几个步骤：
1、图像矩阵转换：首先将图像表示为一个矩阵，其中每个像素值对应矩阵的一个元素。对于彩色图像，通常需要将其转换为灰度图像或分别对RGB三个通道进行处理。
2、应用SVD：对图像矩阵进行奇异值分解，得到 三个矩阵。
3、选择奇异值：由于奇异值按从大到小的顺序排列在 对角矩阵中，较大的奇异值代表了图像的主要特征，而较小的奇异值则代表了细节和噪声。在压缩时，可以选择保留最大的 个奇异值。
4、重构图像：使用保留的 个奇异值和对应的 和 矩阵中的列向量，重构图像矩阵。具体来说，计算 ，其中 和 分别是 和 的前 列，Σ𝑘Σk 是由前 个奇异值构成的对角矩阵。
5、压缩效果和质量权衡：通过选择不同的 值，可以控制压缩的程度和图像质量之间的平衡。较小的 值意味着更高的压缩率，但可能会丢失一些图像细节；较大的 值则保留了更多的图像信息，压缩率较低。
SVD压缩图像实例
这里以一个图片为例，图片选自电影《荒岛余生》，截取主角快要精神崩溃时刻懵逼的场景，后面还有主角的精神支柱：Vilson，（剧透一下，后来主角决意离开小岛，扎了个皮筏，在海上漂浮的过程中，Vilson被大浪吹走了，主角万念俱灰，躺在皮筏上面等死，最后........。）
原图片为：
帖子给出了详细的代码，下面逐行讲解代码。
clc; clear all;
%%
% 读取图像
img = imread('island.png');
% 将图像转换为灰度图像，如果它不是灰度图
if size(img, 3) == 3
img = rgb2gray(img);
end
% 将图像转换为双精度浮点数格式
img_double = im2double(img);
上面的代码将图片读进内存，但是matlab的imread函数读进的图片数据类型为unit8，因此需要将数据处理为浮点型数组，方便后续进行矩阵分解。
% 对图像进行奇异值分解
[U, S, V] = svd(img_double, 'econ');
这里没有自己写算法进行分解，直接调用了matlab的svd函数，返回左右奇异值矩阵和对角矩阵。
% 选择奇异值的数量来压缩图像
k = 50; % 选择一个较小的 k 值来压缩图像
k就是我们选择的前 阶特征值，这里选择了50，后续我会修改 值，观察不同的k值对压缩后的图片质量影响。
% 选择奇异值的数量来压缩图像
U_k = U(:, 1:k);
S_k = S(1:k,1:k);
V_k = V(:, 1:k);
选取前 阶特征值对左右奇异值矩阵和对角矩阵重构。
% 重构压缩后的图像
img_compressed = U_k * S_k * V_k';
生成重构后的矩阵，即生成保留前 阶特征值的图片。
% 显示原始图像和压缩后的图像
subplot(1, 2, 1);
imshow(img_double);
title('Original Image');
subplot(1, 2, 2);
imshow(img_compressed);
title(['Compressed Image with k = ', num2str(k)]);
上面的代码用与显示压缩前后的矩阵。
这张图片经过处理后的浮点矩阵大小为 ，因此，左奇异矩阵的大小为 ，右奇异矩阵的大小为 ，对角矩阵大小为 。
这张图片经过奇异值分解，共计849个特征值，我们依次保留不同的特征值，分别保留了25、50、75、100、125、15、175、200，比较压缩后的图片质量。
下面给出了原图与压缩后的图片对比图，每张图片的左边均是原图，右面是压缩后的图片，图片下方标注了相应的压缩程度。
25/849
50/849
75/849
100/849
可以发现，从这里开始，如果没有仔细分辨，已经看不出来原图和压缩后的图片的细微区别，这时截取的特征值占比为11.78%，压缩了将近百分之九十！
125/849
150/849
175/849
200/849
从上面图片的对比中发现，采用SVD对图像进行压缩，仅仅截取十分之一的特征值就达到了接近原图效果的压缩图。可见该方法在图像处理方面有极大的应用前景，并且已经有了极为广泛的应用。
详细的matlab代码
下面给出了详细的matlab代码，使用的时候注意修改图片的名字。
clc; clear all;
%%
% 读取图像
img = imread('island.png');
% 将图像转换为灰度图像，如果它不是灰度图
if size(img, 3) == 3
img = rgb2gray(img);
end
% 将图像转换为双精度浮点数格式
img_double = im2double(img);
imwrite(img_double, 'origin.png');
% 对图像进行奇异值分解
[U, S, V] = svd(img_double, 'econ');
% 选择奇异值的数量来压缩图像
k = 200; % 选择一个较小的 k 值来压缩图像
U_k = U(:, 1:k);
S_k = S(1:k,1:k);
V_k = V(:, 1:k);
% 重构压缩后的图像
img_compressed = U_k * S_k * V_k';
% 显示原始图像和压缩后的图像
subplot(1, 2, 1);
imshow(img_double);
title('Original Image');
subplot(1, 2, 2);
imshow(img_compressed);
title(['Compressed Image with k = ', num2str(k)]);
% 如果需要，保存压缩后的图像
imwrite(img_compressed, string(k)+'.png');
上面的东西写的花里胡哨的，可是，这是有限元领域的公众 号啊！SVD跟有限元又有什么关系呢！？
列位看官，敬请期待！
