Abaqus三维Timoshenko梁单元刚度矩阵详解 | 理论&数值实现

单元描述

局部坐标系下的梁单元每个节点具有 6 个自由度，

 

上图所示的空间梁单元节点位移列向量     和节点力列向量     分别为:

相应的刚度方程为：

单元刚度矩阵计算

与空间的 Euler-Bernoulli 梁单元刚度矩阵叠加类似，空间 Timoshenko 梁单元刚度矩阵为一个     的矩阵，看似很麻烦，实则可以根据刚度矩阵叠加原则，一点一点叠加上去！

轴向刚度：轴向位移，对应于节点位移     ，直接应用杆单元的刚度矩阵：

扭转刚度：扭转角，对应于节点位移    

其中，    为横截面的扭转惯性矩，    为剪切模量。

纯弯刚度：对应于节点位移     对于     ：

对于     ：

剪切刚度：对应于节点位移    

对于    

其中，

对于    

其中，

剪切刚度矩阵修正

对于上面公式中出现的     ，是 Abaqus 内部对于剪切刚度矩阵的修正方式，为了对标Abaqus，可以仿照Abaqus对剪切部分的刚度矩阵进行修正，相关理论可点击查看：https://help.3ds.com/2024/English/DSSIMULIA_Established/SIMACAEELMRefMap/simaelm-c-beamelem.htm?contextscope=all&id=a2e4f2c8942342699ebd42cf79509e1c

具体啥意思呢？我来自己总结下，不一定对，仅供参考哈！

其中，    表示修正后的剪切刚度矩阵，    表示未被修正的剪切刚度矩阵，    表示的是一个无量纲因子，预防梁的剪切刚度过大。

其中，    表示截面面积，对于一阶单元     为 1.0，对于二阶单元     为     ，SCF默认值为0.25，    为截面惯性矩，    为梁长。

最终叠加后的单元刚度矩阵为:

数值案例

本次的案例将采用 Abaqus 对于 Timoshenko 梁剪切修正的方式进行数值编程，将单元刚度矩阵与 Abaqus 导出的单元刚度矩阵（以 1 号单元刚度矩阵为例）进行对标，位移场结果进行对标。几何模型及边界条件信息如下：

位移场对比

单元刚度矩阵对比

MFEA 单元刚度矩阵	Abaqus 单元刚度矩阵

由以上对比结果可知，本次编制的三维 Timoshenko 梁单元刚度矩阵与 Abaqus 完全一致。

有关三维 Timoshenko 梁单元就介绍到这里，感谢您的阅读。整套程序MFEAOOP已发布在知识星球中，后台回复：星球，即可加入，对源程序的疑问，可在星球内详细讨论。

MFEAOOP中对于Timoshenko 梁单元号与Abaqus保持一致，B31表示三维，B21表示二维。