4.8 应力张量

        为了回答实际中的聚合物力学问题，比如当聚合物部件受到外部负荷时会变形多少，就必须引入机械应力的概念。为此，我们将考虑一个如图4.7所示的暴露在外部力作用下的通用物体。该图显示了时间t时作用在物体上的配置和力。现在让我们沿着一个平面对物体进行虚拟切割，如图4.8所示。为了满足物体两个部分的力平衡，在切割平面上必须存在内部表面力。内部表面力的大小将取决于切割平面的方向（由表面的法线n指定）和力的位置x：

图4.7：显示了时间t时作用在物体上的配置和力。

图4.8：显示了沿平面对物体进行虚拟切割的示意图。

这些表面力可以表示为牵引力    （即每单位面积的力）：

这是作用在表面元素 ds上的力。根据柯西应力定理[2, 3]，每个材料点的力可以与应力场相关联，该定理表明存在一个唯一的张量应力场 𝜎(𝑥)，它独立于虚拟切割的方向（由法线 𝑛 指定），并定义为：

在此方程中， 是柯西（真实）表面牵引力，且

                    (4.139)

是柯西应力张量。方程 (4.138) 中的牵引力矢量和应力张量也可以在参考配置中写为：

其中， 是名义牵引力矢量（也称为第一皮奥拉-基尔霍夫牵引力矢量），而是名义应力张量（也称为第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量），它可以写为：

表明 是一个两点张量。参考配置和当前配置中的力矢量必须相等：

这样就得到了等式。

从Nanson’s  我们可以得到柯西应力张量和第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量之间的关系：

或者，当解柯西应力时，

显示第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量不是对称的。文献中还定义和使用了许多其他应力张量。一个常见的应力是基尔霍夫应力，定义为：

另一个常见的应力是第二皮奥拉-基尔霍夫应力。如果我们在柯西面力向量上应用，我们得到在参考配置中的一个力向量：

力向量 是通过第二皮奥拉-基尔霍夫应力得到的：

参考配置和当前配置中的力向量必须是相同的：

从南森公式（方程 (4.91)）我们得到：

例子：单轴加载

为了说明不同的应力测量方法，我们考虑一个单轴拉伸情况，其变形梯度为：

柯西应力为：

这样，第一Piola-Kirchhoff应力可以通过公式 4.144获得：

第二Piola-Kirchhoff应力可以通过公式 4.150获

Kirchhoff应力可以通过公式4.146获得：

   这个例子说明了在同样载荷和变形下，不同应力量度在数量上有很大差别。