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《Mechanics of Solid Polymers》4.8应力张量

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4.8 应力张量

        为了回答实际中的聚合物力学问题,比如当聚合物部件受到外部负荷时会变形多少,就必须引入机械应力的概念。为此,我们将考虑一个如图4.7所示的暴露在外部力作用下的通用物体。该图显示了时间t时作用在物体上的配置和力。现在让我们沿着一个平面对物体进行虚拟切割,如图4.8所示。为了满足物体两个部分的力平衡,在切割平面上必须存在内部表面力。内部表面力的大小将取决于切割平面的方向(由表面的法线n指定)和力的位置x

图4.7:显示了时间t时作用在物体上的配置和力。

图4.8:显示了沿平面对物体进行虚拟切割的示意图。

这些表面力可以表示为牵引力    (即每单位面积的力):

这是作用在表面元素 ds上的力。根据柯西应力定理[2, 3],每个材料点的力可以与应力场相关联,该定理表明存在一个唯一的张量应力场 𝜎(𝑥),它独立于虚拟切割的方向(由法线 𝑛 指定),并定义为:

在此方程中, 是柯西(真实)表面牵引力,且

                    (4.139)

是柯西应力张量。方程 (4.138) 中的牵引力矢量和应力张量也可以在参考配置中写为:

其中, 是名义牵引力矢量(也称为第一皮奥拉-基尔霍夫牵引力矢量),而是名义应力张量(也称为第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量),它可以写为:

表明 是一个两点张量。参考配置和当前配置中的力矢量必须相等:

这样就得到了等式。

从Nanson’s  我们可以得到柯西应力张量和第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量之间的关系:

或者,当解柯西应力时,

显示第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量不是对称的。文献中还定义和使用了许多其他应力张量。一个常见的应力是基尔霍夫应力,定义为:

另一个常见的应力是第二皮奥拉-基尔霍夫应力。如果我们在柯西面力向量上应用,我们得到在参考配置中的一个力向量:

力向量 是通过第二皮奥拉-基尔霍夫应力得到的:

参考配置和当前配置中的力向量必须是相同的:

从南森公式(方程 (4.91))我们得到:

例子:单轴加载

为了说明不同的应力测量方法,我们考虑一个单轴拉伸情况,其变形梯度为:

柯西应力为:

这样,第一Piola-Kirchhoff应力可以通过公式 4.144获得:

第二Piola-Kirchhoff应力可以通过公式 4.150获

Kirchhoff应力可以通过公式4.146获得:

   这个例子说明了在同样载荷和变形下,不同应力量度在数量上有很大差别。


来源:ABAQUS仿真世界
通用材料
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首次发布时间:2024-10-26
最近编辑:1月前
yunduan082
硕士 | 仿真主任工程... Abaqus仿真世界
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