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《电磁场微波技术与天线》第三章 静态电磁场及其边值问题的解

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第三章来了!

先看看教材有哪些内容!


学本章之前再次回顾一下第二章的麦克斯韦方程组!
麦克斯韦方程组是由四个定理所组成的,分别是
高斯电场定理(Gauss's law for electric fields )
高斯磁场定理(Gauss's law for magnetic fileds)
法拉第定理(Faraday's law)
麦克斯韦-安培定理(Maxwell-Ampere law)
麦克斯方程组有积分和微分两种表示形式,两种表示形式均是一致的。
积分形式(Integral form):
微分形式(differential form):
1、高斯电场定理(Gauss's law for electric fields)
麦克斯韦方程组中有两类电场,一类是由电荷产生的静电场(electrostatci),另一类是由变化的磁场激发的感应电场(Induction electric field)。
高斯电场定理用于分析电荷激发的静电场。
(1)积分形式
电荷激发电场,并且穿过闭合曲面S的电通量(electric flux)正比于闭合曲面S所包围的总电荷数(net charge)。
 (2) 微分形式
公式左边描述了电场的散度。公式右边表示在自由空间中的电荷密度。
正电荷发散到负电荷产生电场。
2、高斯磁场定理(Gauss's law for magnetic fields)
高斯电场定理和磁场定理的区别在于,自然界中存在电单极子(如正电荷和负电荷),但是不存在磁单极子(如正磁极子或负磁极子)。
(1)积分形式(Integral form)
公式右边描述了磁场通过闭合曲面S的通量。公式右边为0。
高斯磁场定理表示磁场通过任一闭合曲面的通量为0。
(2)微分形式
高斯磁场定理差分形式表明磁场B的散度为0,即是有旋的,磁力线从任一点出发,最终仍回到该点。
3、法拉第定理(Faraday's law)
(1)积分形式
公式右边表述了电场的旋度,即电场绕一点转圈的程度,公式左边表述了磁场随时间的变化速率。
法拉第定理表述了随时间变化的磁场会产生一个旋转的电场(Circulating electric field)。点电荷产生的电场是无旋的。
变化的磁场产生的感应电场是有旋的。
(2)微分形式
公式左边表示电场的旋度,公式右边表示磁场随时间的变化率。
随时间变化的磁场产生有旋的电场(或者电流)。
4、安培-麦克斯韦定理(Ampere-Maxwell law)
(1)积分形式(Integral form)
(公式右边为对表面的二重积分,书写格式不同。)
公式左边表示磁场沿着闭合回路C的积分。
公式右边有两项组成,第一项表示稳态传导电流,第二项表示变化的电通量(electric flux)通过由闭合回路C构成的任意曲面。
电流或穿过表面变化的电通量会在该表面的任意闭合路径上产生一个环绕的磁场。
 
(2)微分形式:
公式左边表示磁场B的旋度,公式右边表示表面电荷密度和随时间变化的电场。
电流和随时间变化的电场会激发旋转的磁场(circulating magnetic field)
开始学习第三章!
本构关系(constitutive relation)是反映物质宏观性质的数学模型,它描述了应力(或内力)与应变(或变形)之间的关系,在固体力学、流体力学、电磁学等众多领域都有重要意义。
这些本构关系是麦克斯韦方程组的重要组成部分,结合麦克斯韦方程组以及适当的边界条件,可以求解电磁场在各种情况下的分布和传播特性。
需要注意的是,在一些特殊材料或情况下,本构关系可能会更加复杂。例如,在非线性介质中,介电常数、磁导率或电导率可能会随电场强度或磁场强度的变化而改变;在色散介质中,电磁参量可能与电磁波的频率相关。这些情况下的本构关系需要根据具体的材料性质和物理现象进行更详细的描述和分析。
静电场的边界条件是描述电场在不同介质分界面处行为的重要关系。主要有以下两个边界条件:
在静电场的边界条件中,切向和法向具有特定的方向和含义。
一、法向
法向指垂直于分界面的方向。例如,在两种不同介质的分界面处,从分界面出发,垂直指向某一介质内部的方向就是法向方向。
如果在分界面上构建一个坐标系,法向通常对应于垂直于分界面的坐标轴方向。在静电场中,涉及电场强度和电位移矢量的法向分量时,就是指在这个垂直于分界面的方向上的分量。
二、切向
切向指沿着分界面的方向。具体来说,在分界面上,与法向垂直的方向就是切向方向。
切向方向通常与分界面相切。在静电场中,电场强度和电位移矢量的切向分量就是在这个沿着分界面的方向上的分量。
理解切向和法向的方向对于正确应用静电场的边界条件至关重要,它们帮助确定电场在不同介质分界面处的具体行为和变化规律。
晶体管:晶体管的漏极和源极之间存在一定的漏电导。这是由于晶体管的结构和制造工艺决定的,即使在理想情况下,也会有少量的电流从漏极流向源极。在实际应用中,漏电导的大小会影响晶体管的性能和功耗。例如,在低功耗电子设备中,需要选择漏电导较小的晶体管,以降低功耗。
集成电路:集成电路中也存在漏电导。随着集成电路的集成度越来越高,芯片内部的绝缘层越来越薄,漏电导也会相应增加。这会导致芯片的功耗增加、发热严重,甚至可能影响芯片的可靠性和寿命。为了降低漏电导,集成电路制造商通常会采用先进的制造工艺和材料,提高芯片的绝缘性能。
在生物医学领域,人体组织也可以看作是一种具有漏电导的介质。例如,人体的皮肤、肌肉、血液等组织都具有一定的导电性,当人体接触到电源时,会有电流通过人体组织泄漏到地,形成漏电。这是造成触电事故的重要原因之一。此外,人体组织的漏电导还会影响生物医学仪器的测量精度和可靠性。
在电磁场中,倒三角符号(∇)称为 “nabla” 或 “哈密顿算子”,它可以用来描述标量场的梯度、矢量场的散度和旋度,这些概念对于理解电磁场的性质和行为至关重要。之前在第一章讲解的时候已经提及,这里重复一下!
镜像法是一种求解电磁场问题的重要方法!
恒定磁场的旋度源为恒定电流,它是一种有旋场,磁力线是闭合曲线。
知识点总结!
本章主要介绍了静态电磁场及其边值问题的解,包括静电场分析、导电媒质中的恒定电场分析、恒定磁场分析、静态场的边值问题及解的惟一性定理、镜像法等内容,具体知识点总结如下:
  1. 静电场分析
    • 基本方程和边界条件:静电场的基本方程包括积分形式和微分形式,边界条件包括场矢量的折射关系和导体表面的边界条件。
    • 电位函数:静电场可以用标量电位表示,电位函数的定义、表达式、电位差、电位参考点以及电位的微分方程等内容。
    • 导体系统的电容与部分电容:电容是导体系统储存电荷能力的物理量,计算电容的步骤包括假定电荷、计算电场强度、计算电压和求比值。
    • 静电场的能量:静电场的能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量,电场能量密度与电场强度和电位移矢量有关。
  2. 导电媒质中的恒定电场分析
  3. 基本方程和边界条件:恒定电场的基本方程包括电流密度和电场强度的关系,边界条件包括场矢量的边界条件和折射关系。
    恒定电场与静电场的比拟:恒定电场和静电场在一定条件下可以进行比拟,其场方程、边界条件和求解方法有相似之处。
    漏电导:漏电导是衡量绝缘材料性能的参数,其倒数为绝缘电阻。
  4. 恒定磁场分析
  5. 基本方程和边界条件:恒定磁场的基本方程包括磁通和磁链的定义,边界条件与磁感应强度和磁场强度有关。
    电感:电感包括自感和互感,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关,互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关。
    恒定磁场的能量:磁场能量与电流回路的磁链和电流有关,磁场能量密度与磁感应强度和磁导率有关。
    磁场力磁场对放入其中的运动电荷或载流导体的作用力
  6. 静态场的边值问题及解的惟一性定理
  7. 边值问题的类型:边值问题包括第一类边值问题、第二类边值问题和第三类边值问题,以及自然边界条件和衔接条件。
    惟一性定理:惟一性定理给出了静态场边值问题具有惟一解的条件,为求解方法提供了理论依据和判据。
  8. 镜像法
  9. 问题的提出:当有电荷存在于导体或介质表面附近时,感应电荷或极化电荷将影响场的分布,镜像法可以用等效电荷的电位替代非均匀感应电荷产生的电位。
    镜像法的原理:镜像法是用位于场域边界外虚设的镜像电荷分布来等效替代边界上未知的电荷分布,从而简化分析计算过程。
    镜像法应用的关键点:包括像电荷的个数、位置及其电量大小,以及等效求解的 “有效场域”。
    确定镜像电荷的两条原则:像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。
    接地导体平面的镜像:包括点电荷对无限大接地导体平面的镜像、线电荷对无限大接地导体平面的镜像以及点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像。
    学到现在,我们擅长的MATLAB能在这个领域做些什么呢?
    MATLAB 在电磁理论中有诸多应用,主要包括以下几个方面:
    1. 电磁场的可视化
    2. 绘制电场和磁场线:例如对于点电荷、带电细棒、带电圆环等产生的电场,以及载流导线、通电线圈等产生的磁场,可以使用 streamline 函数根据电场或磁场的向量数据绘制流线图,直观地展示场线的分布情况。比如模拟两个同号等量或不等量点电荷的电场分布,通过绘制电场线能够清晰地看到电场的方向和强度变化。  
      绘制等势面和等高线图:利用 contour 和 contourf 函数可以创建包含电势或磁势的等值线的等高线图或填充等高线图。这对于展示电场或磁场中电势或磁势的分布非常有用,能够帮助理解场的变化趋势和空间分布特性。  
      绘制三维场分布:使用 mesh 或 surf 函数可以构建三维图形,展示电磁场在三维空间中的分布情况。例如,可以绘制出空间中某一区域内的电场强度或磁场强度的三维分布,使研究者能够更全面地观察场的特性。  
    3. 理论分析与计算
    4. 求解电磁学方程:电磁理论中涉及到许多偏微分方程,如泊松方程、拉普拉斯方程等。MATLAB 可以通过数值方法求解这些方程,帮助分析电磁场的分布。例如,对于静电场中的电势分布问题,可以使用有限差分法、有限元法等数值方法在 MATLAB 中进行求解。  
      计算电磁参数:根据电磁理论的公式,利用 MATLAB 进行编程计算,可以得到各种电磁参数,如电场强度、磁场强度、电位移矢量、磁感应强度等。通过输入相关的物理量和边界条件,能够快速准确地计算出所需的电磁参数值。  
      研究电磁特性:对于电磁材料的特性分析,如介电常数、磁导率等参数的变化对电磁场的影响,可以通过 MATLAB 进行模拟和分析。例如,分析不同介电常数的材料在电场中的电势分布差异,或者不同磁导率的材料对磁场的影响。  
    5. 模拟电磁现象和实验
    6. 电磁波传播模拟:可以模拟电磁波在不同介质中的传播过程,包括折射、反射、透射等现象。例如,编写程序模拟平面电磁波垂直入射到理想介质分界面的情况,观察电磁波在介质中的传播特性和场的变化。  
      天线辐射特性分析:对于天线的设计和分析,MATLAB 可以用来模拟天线的辐射场分布、方向图、增益等特性。通过改变天线的结构参数和工作频率等条件,研究天线的性能变化,为天线的优化设计提供依据。  
      电磁兼容问题研究:在电子设备和系统中,电磁兼容是一个重要的问题。MATLAB 可以用于模拟不同电子设备之间的电磁干扰情况,分析电磁场的相互作用,帮助设计人员采取相应的电磁兼容措施。  
    7. 数据处理与分析
    8. 实验数据处理:在电磁学实验中,MATLAB 可以用于处理实验数据,如对测量得到的电场强度、磁场强度等数据进行滤波、拟合、统计分析等操作,以提取有用的信息和结论。  
      结果对比与验证:将理论计算结果与实验数据进行对比,使用 MATLAB 进行数据分析和误差评估,验证理论模型的正确性和准确性。通过这种方式,可以不断改进和完善电磁理论模型。  
       
      一起看看代码吧!  
    未完,待续!

修订记录

20240825 完成初稿;

20241007 修订内容;



来源:通信工程师专辑
MaxwellFluxMAGNET非线性电源电路电磁兼容电子MATLAB芯片电场理论Electric材料
著作权归作者所有,欢迎分享,未经许可,不得转载
首次发布时间:2024-10-19
最近编辑:1月前
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