壹
概述
初学有限元等参元理论,里面的单元映射变换给我带来了很大的困扰,我始终不明白这些东西如何通过Jocabian矩阵换来换去的。
后来并没有继续一头扎进去思考里面的公式推导,想从思考新的方法论的角度来解决问题,开始反思之前学习过的内容有没有可能为现阶段的困难提供解决方案,最终决定把当下碰到的困难放到已经解决过的问题中去思考。
然后想到了Jocabian行列式,Jocabian行列式广泛用于求解复杂的定积分问题,通过Jocabain行列式对定积分进行换元,就可以将复杂的被积函数或者积分区域进行化简,就解决了复杂积分问题。
贰
为什么要引入等参元
总的来说,引入等参元是为了更高效和准确地表示复杂几何形状和提高计算精度。主要目的是为了解决复杂几何、非线性问题,提高有限元分析的精度和效率。等参元通过统一几何和物理场的表示,简化了计算和坐标变换过程,同时允许通过高阶形函数捕捉更复杂的物理现象。
具体来讲有以下几个方面:
处理复杂几何形状
在实际工程问题中,很多结构的几何形状是复杂的,例如弯曲的梁、曲面的壳结构等。传统的有限元单元,如矩形或三角形单元,难以准确描述这些复杂的几何形状。而等参元采用的是曲线边界,通过形函数的非线性映射能够精确描述复杂几何形状,使得有限元分析能够更好地适应各种实际结构。
统一表示几何和物理场
等参元引入的一个核心思想是使用相同的形函数来表示几何坐标和物理场变量(如位移、温度等)。传统的非等参元方法通常需要分别处理几何和物理场,计算复杂度较高,且容易引入误差。等参元通过统一表示,避免了这些问题。
提高精度和效率
等参元不仅能够更精确地描述几何形状,还可以通过增加形函数的阶数来提高有限元解的精度。例如,在弯曲结构或有较大几何变化的区域,等参元可以通过高阶形函数捕捉细节,获得更好的计算结果。同时,等参元允许将较少的单元用于复杂几何的建模,从而减少计算量。
方便坐标变换和数值积分
在有限元分析中,很多问题涉及从参考坐标系到实际坐标系的坐标变换(如从局部单元坐标到全局坐标)。等参元通过引入参数坐标系(通常为自然坐标系,如ξ、η等),使得这些变换变得更加简单和系统。
处理非线性问题
对于很多非线性问题,等参元提供了灵活的框架来处理复杂的边界条件和材料非线性。由于等参元能够精确表示非线性几何形状和应力-应变分布,它在解决非线性问题(如大变形、接触问题等)时表现尤为突出。
减少网格失配问题
当模型中有复杂的几何特征或不同部分之间需要过渡时,等参元通过使用相同的形函数来表达几何和物理量,能够减少网格划分中的失配问题。它允许采用不规则的网格划分,而不会导致精度下降或计算不稳定性。
叁
定积分计算中的换元
假如有如下定积分问题
如果被积函数或者积分区域非常的复杂,如二重积分中出现弧形边界,这时候仅仅在直角坐标系中很难求解,可以尝试将定积分转化到极坐标系中求解,或者对积分变量进行换元,如下式
引入Jocabian矩阵以后,原积分可以变换为
其中,Jocabain矩阵对应的行列式为
肆
直角坐标与极坐标互换
下面是一个直角坐标转换为极坐标的例子。假如有以下定积分
假设积分区域为
这个积分区域在直角坐标系中很复杂,直接用圆的直角坐标表达式求解分不太现实,就可以考虑进行坐标转换,把问题放到极坐标系中求解,引入
原定积分转化为
其中,Jocabian矩阵对应的行列式为
则最初的定积分就化简为
伍
采用Jocabian矩阵完成等参变换
这里以三维8节点单元的刚度矩阵为例讲解如何采用Jocabian完成等参变换。八节点单元的单元刚度矩阵为
其中,B为应变-位移矩阵,为笛卡尔坐标x、y、z的函数,D这这里为线弹性材料矩阵,是常数。则整个被积函数可以可以表示为
且笛卡尔坐标与母单元坐标存在函数关系
因此,单元刚度矩阵可以表达为
且Jocabian矩阵为
通过Jocabian矩阵,就将刚度矩阵,即定积分转换到了母单元坐标系中,然后再利用数值积分手段,将连续的定积分转化为离散的数值求和
上面的高斯积分假设每个方向有两个积分点,H为积分权重。
陆
反思
我们不可能为所有遇到的新问题提供全新的解决方案,无论是从个人/团体资源来讲,还是时间精力角度来讲,都是不现实的。
这时候就要求我们将眼光放到之前已经解过的问题上,对之前的工作进行反思和升华,与此同时将遇到的问题进行抽象或者具象,然后努力在二者之间寻找一个交汇点,到了这一步,我们遇到的问题往往可以处理成之前已经解决的问题的外延,或者是在过往问题的基础上附加了一些学科背景,总之,将一个无法解决的问题近似成已有解决方案的问题会让人感觉非常的踏实,也让我们解决现有的问题更加的有的放矢。
这里面有很多值得思考的问题。
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