力学的几何化——变换群与动力系统
来源：武际可科学网博客，作者：武际可 北京大学力学系。
1637年笛卡尔 (Rene Descartes, 1596-1650) 发表《La Géométrie》奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变换的概念。
1893年李 (Marius Sophus Lie, 1842-1899) 出版了他积九年研究的成果于三卷书《Theorie der Transformationsgruppen》中，奠定了李群也就是变换群的基础。
1872年，德国数学家克莱因 (Felix Christian Klein, 1849-1925) 在论文《Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen 》中提出以变换来区分非欧几何的理论。后来被称为Erlangen program 爱尔朗根纲领。他将欧氏几何、罗巴切夫斯基非欧几何，以及狭义的黎曼非欧几何等度量几何，都统一于射影几何而成为射影几何的特例。他将到他那时的几何，分为射影几何、仿射几何和欧氏几何，这不同的几何对应于不同的变换群。并且称：“给了一个流形和这个流形的一个变换群，建立关于这个群的不变性理论。”就是说，几何学是研究变换群作用下图形和形体的不变性质的。这个思想成为后来几何学发展的纲领。后来人们引进了空间的连续变换群，开辟了一种新的几何：研究在连续变换群作用之下的不变的性质的几何成为一门新的几何领域，这门新的几何就是拓扑学。
在引进了坐标和时间的变换后，人们自然要讨论在这些变换下，哪些力学量保持不变。于是，人们定义了以下三个力学量，即 ：
人们立即发现，这三个力学量分别在坐标的平移、旋转和时间的平移之下保持不变。这就是著名的力学中的三大守恒定律。
1904年罗伦茨 (H. Lorentz, 1853-1928) 引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，在罗伦茨变换下，时空距离dx² dy² dz²-c²dt² 是不变量。其中，c 是光速。罗伦茨变换在后来相对论的发展中起了非常重要的作用。
在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一般的观点来讨论变换和不变量。在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统
设给定初值为x0，它的解是
这个解实际上给出了从x0 到x 的一个带参数t 的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李群。
设g(x) 为x 的任一函数，一般来说如果
则g(x) 就是在变换
之下的一个不变量。显然这个条件是充分必要的，这是因为
进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以统一纳入不变量的理论中去讨论。
从比较一般的观点要给出不变量的定义，是：一个函数f(x) 在变换群φ(g,x) 作用下称为不变量，如果有
这个定义说明不变量在任何单参数群上保持常数。在变换群中，最重要的一类群是给了x 点和y 点，若有一个g 使x 变到y 点，即
从变换的观点来看问题，不仅动力系统的任何第一积分可以看作不变量，连续介质力学中的本构关系，控制力学规律的各种方程也可以看作不变量。所以可以从不变量的角度来研究力学中的所有问题。例如，力学中量纲分析，实际上就是讨论在时间、空间和质量的度量单位变换下力学系统不变的性质。而度量单位的变换构成一个变换群。
把这个思想提升到理论高度的是一位德国女数学家诺特 (Amalie Emmy Noether, 1882-1935)，她的结果被后人称为诺特定理。这个定理是说：客观运动每一种变换群作用下的不变性都对应于一个物理量的守恒定律，反之亦然。上面说的不变量，可以推广，把一个微分方程在变换之下不变，也可以称为微分不变量。诺特定理说如果一个动力系统在—个变换下不变，则这个动力系统就存在一个守恒律。这个定律把找寻不变量的问题转化为一个寻找变换群的问题。由此打开了二十世纪整个理论研究物理的新局面。例如，力学系统在时间移动之下的不变性，对应于能量守恒定律，对于空间平移的不变性对应于动量守恒定律，对于旋转变换之下的不变性对应于角动量守恒定律等等。在电学中的电量守恒、量子力学中的宇称守恒等等，都对应于相应的变换群作用之下的不变性质。二十世纪对于基本粒子的探索，这个定律起到了举足轻重的作用，所以有的物理学家说：“它是引领现代物理前进的最重要的能够和毕达哥拉斯定理相匹敌的数学定理。”
在力学中讨论的许多变换中，还应当着重介绍的是勒让德变换。
1787年，勒让德 (Adrien-Marie Legendre, 1752-1833) 在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。勒让德变换在力学和物理上的应用，可以把作用量的自变量换成与原来变量对偶的变量。由此就可以发展出一系列的另外的作用量和运动方程的新的表述形式。
勒让德变换是从以下偏微分方程出发的
其中若令əz/əx=p，əz/əy=q，再令R、S、T 仅是p、q 的函数。令曲面z=f(x,y) 的切平面为
则应当有
px qy-z-v=0 在变量x、y 与它们的对偶变量p，q 之间给了一个变换。把这个变换具体写出来就是对它求微商得
考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即
于是有
其中
这个变换，把一个拟线性方程变到一个线性方程。
把以上的思想推广，设有n 个变量q1,q2,···,qn 的函数U=U(q1,q2,···,qn) 它具有直到二阶以上的连续微商，取新的一组变量
它们组成对原变量q1, q2, K, qn 的一组变换其雅科比行列式
从
可以把原变量反解出来得
考虑新函数
可以证明
两个函数U 和Uc 的关系由下式给出。
对应的变量和函数的关系分别由下两式给出
它们概括了力学与物理中许多对偶关系。
在热力学中，常见的自变量或状态变量有：T、S、p、v 四个，即温度、熵、压强与体积。这四个变量之间两两对偶，前两个之积和后两个之积的量纲都是能量。用体积和熵为自变量表示的内能U(S,v)，有
可以将自变量改变为其对偶的自变量，于是我们还有和内能同一量纲的三个热力学函数F(T,v)、H (S, p)、G(T,p)，即亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它们和内能之间的关系是
我们看到，这些热力学函数之间的关系恰好是勒让德变换。所以，勒让德变换实际上是在我们得到了一个不变量后，要得到它的对偶自变量下的不变量的一个重要的变换。
变形能密度δW=T：δΓ 与余变形能密度δWc=Γ 之间有关系
它们都是勒让德变换的实例。
在分析力学中，拉格朗日方程是
其中拉格朗日函数是
式中，T 为动能，U 为势能。
哈米尔顿函数与拉格朗日函数之间的关系是
这实际上也是一个勒让德变换。在这个变换下，拉格朗日方程就变换为哈米尔顿方程。
以上所介绍的黎曼几何、辛几何、外微分以及相关的几何概念和变换群理论，都是数学家从19世纪中叶开始到20世纪中叶近百年中发展起来的成果。这些成果最初对大多数物理学家和力学家都是不熟悉的。它们逐渐显露出深入研究力学与物理的强大力量。一些经典力学的内容，用这些新的几何语言重新进行整理和加工，形成新的体系。于是到20世纪五十年代以后，有一个逐渐向力学界和物理界传播和普及的过程。这个过程的主要特征是出现了大量好的教材，以及用这些新的几何语言重新整理的经典物理和力学理论的成果。这个趋向被一些学者称为“物理的几何化”。
在数以百计的这类书中，有一本比较通俗的著作，这就是前苏联学者阿诺尔德所写的《经典力学的数学方法》，该书是作者1966-1968 年对莫斯科大学数学力学系数学专业3到4年级的讲义基础上写成的。尽管有人评论这本书写得像数学，由它不一定能够学会力学，不过它仍不失为一本好书。他把经典力学的发展归结为三步：牛顿力学相应于欧氏几何，拉格朗日力学相应于黎曼几何，哈密尔顿力学相应于辛几何。
参考文献：
[1] 阿诺尔德著；齐民友译，经典力学的数学方法（第四版），高等教育出版社，2006
[2] 武际可，谈谈对称，科学网博文， http://blog.sciencenet.cn/blog-39472-781656.html
[3] 武际可 黄克服编著，微分几何及其在力学中的应用，北京大学出版社，2011
[4] 武际可，从太极图说起一一再谈对称，科学网博文，http://blog.sciencenet.cn/blog-39472-786937.html
[5] 武际可 王敏中 王炜，弹性力学引论（修订版），北京大学出版社，2001
[6] Peter J. Olver ， Applications of Lie Groups to Differential Equations, Springer-Verlag, 1990
