《Mechanics of Solid Polymers》4.5变形梯度概述
4.5 变形梯度
聚合物力学的最重要目标之一是确定应用位移和载荷的应力状态。给定材料点处的应力取决于该点相对于其初始未变形配置的拉伸和扭曲程度。表达局部拉伸状态的一种方便方式是使用变形梯度 F，定义如下：
在这些方程中， Q1 和Q2 是两个不同的正交张量（旋转），而 A 是对角矩阵。因此， F 的奇异值分解也可以表示为如下所示：
在这些方程中，λi是变形的主应变，ˆni 和 ˆNi是变形梯度的基向量。将张量表示为其特征向量的外积之和的这种方式称为谱表示法。以下两个示例说明了变形梯度如何用于转换线元素和面元素。
示例：线元素的转换
考虑一个向量
在参考构型中，其中 ds是向量的长度， N 是指向向量dx 的单位向量，如果我们用F对dx进行操作，我们得到：
dx的长度为
因此，向量在当前构型中的长度等于参考构型中的长度乘以
示例：面积元素的转换（Nanson’s公式）
假设dS是参考构型中的面积元素，其单位法向量为N，而ds是当前构型中相应的面积元素，其单位法向量为n。在这种情况下，当前构型中的相应体积元素可以写为
但由于
，因此有：
这种面积元素之间的关系通常被称为Nanson’s公式，当定义不同的应力度量时非常有用。
在处理连续介质力学公式时，通常需要考虑标量场和矢量场的梯度和散度。以下两个示例说明了如何在参考和当前构型中执行这些操作。
示例：标量场的梯度
考虑空间坐标中的标量场a(x, t)，以及参考（材料）坐标中的A(x, t)。该场在参考框架中的梯度是A(X, t)的空间导数，可以写为
这相当于
在这个方程中，以及接下来的内容中，我们将使用Grad表示参考构型中的梯度，使用grad表示与空间坐标相关的梯度。
示例：矢量场的散度
参考矢量场U（X，t）的散度可以写成
同样，空间矢量场u（x，t）的散度可以写成
在这些方程中，以及接下来的方程中，我们将使用Div表示参考构型中的梯度，使用div表示相对于空间坐标的梯度。
