流体力学中最平平无奇的一章

随意翻开一本流体力学教科书，我们一定会发现有专门的一章叫“相似原理与量纲分析”，内容不多，却自成体系，而且和其他的章节好像也没有明显的关联。和雷诺实验、伯努利方程、N-S方程这些大名鼎鼎的招数比起来，量纲分析法显得平平无奇又格格不入。那么，“相似原理与量纲分析”究竟能不能像丁鹏那样使出圆月弯刀，震慑众人呢？

“相似”的概念，最早产生于几何学中，比如我们熟悉的相似三角形：各对应边长成比例，各对应角彼此相等。当然，“相似”的例子在生活中也不胜枚举，最有趣的大概就是有名的“俄罗斯套娃”了。

几何的“相似”很容易理解，那么如何把“相似”的观点推广到流体上呢？流动的维度显然要比单纯的几何体复杂的多，而相似也需要更加全面的描述：

通常情况下，几何相似、运动相似和动力相似是一般的流动相似所必须满足的相似条件，而这三种相似是有联系的：几何相似是前提，动力相似是决定运动相似的主导因素，而运动相似则是几何相似和动力相似的表现。

有了流动相似的概念，再联系实际便不难发现“流动相似”在我们的日常生活中就有例证，比如海洋表面形成的卡门涡街和实验中发现的卡门涡街的流动形态几乎如出一辙。

而在流体实验中，相似原理则有更多的应用，比如在车辆开发的早期，为了节省物料成本和实验开销，工程师们经常把小一号的模型放入风洞中进行测试。

而航空器测试的缩比实验更是比比皆是。即便是对于世界上最大的风洞来说，大部分飞机的尺寸还是太大了。只能把实验件缩小，然后调节实验工况，达到和原型相似的流动条件进行测试。

通常情况下，上述比例模型实验的相似条件，都会归纳成一系列的相似准则数，比如流动问题中的雷诺数和马赫数，对流换热问题中的努塞尔数和瑞利数等。对于某一类型的流动，只要其相似准则数相等，则可认为其物理过程是相似的。这些数字没有量纲，因此被称为无量纲数。

至此，平平无奇的“量纲”同学终于出场了，我们先来看看量纲的定义吧——量纲指的是物理量的类别，可用dim表示。比如我们流体力学范畴中最熟悉的三大基本量纲：质量、长度和时间。不过多说一点，很多人可能会无意中混淆了量纲和单位之间的概念。单位是用来描述物理量的，比如分、秒是时间单位；公里、米是长度单位等。在国际单位制中，质量、长度和时间的基本量纲记为：

dim m=M,  dim l=L,  dim t=T

在物理学中，看似其貌不扬的“量纲”也有其特别之处：除了基本量纲之外，其他的物理量，比如速度、密度、压强、能量等等，均可以通过基本量纲导出。

认识了量纲，就可以开始量纲分析了吗？别着急，我们还需要给量纲分析上一把锁：只有同类型的物理量才可以互相比较大小，比如，200秒和175公分是没办法比较的。这句听着像废话一样的话被称为量纲一致性原则。

更进一步拓展：对于物理现象，我们常使用方程来描述同类物理量之间的关系——若将方程中的各项均用基本量纲的幂次式表示，则各项的基本量纲必须齐次，即著名的量纲齐次性原理。比如伯努利方程左侧三项的量纲都可换算为ML^-1T^-2（压强），其单位则都可换算为kg*m^-1*s^-2（帕斯卡）：

1/2ρv²+ρgh+p=Constant

早在1765年的时候，无所不能的欧拉就提出了量纲分析的概念，到了1877年，瑞利明确提议将量纲分析作为一种分析方法，而真正奠定量纲分析理论基础的则是1914年布金汉提出的π定理。

著名的π定理描述如下：若某一物理过程的函数式包含n个物理量，每个物理量的量纲均有k个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并只可以组合成n-k个独立的无量纲参数，称为π数，而该函数式则能变换为包含n-k个由这些物理量组成的无量纲准数π_i的等价函数。

比如，设原函数表达式为:

f(x₁,x₂,…,x_k,..,x_n)=0

按布金汉的π定理即可写成下列等价函数式:

f(π₁, π₂,…, π_n-k)=0

因此，对于特定问题使用量纲分析法的关键，则是明确所研究问题中涉及到的物理量以及基本量纲，并根据布金汉定理推导对应问题的无量纲数，最后实施量纲齐次性原理推导各物理量的幂指数，以实现量纲的一致性。

前面，我们和大家聊完了流动相似和量纲分析的“呼吸吐纳之术”。只是，这平平无奇的量纲分析法是如何在柯老仙的手中化腐朽为神奇的呢？

关于柯尔莫果洛夫的湍流能量谱，前面的文章已经多次提到，感兴趣的朋友可以向前翻阅。再简单回顾一下湍流能级串的思想：如下图所示，湍流中遍布着大大小小的涡系结构，能量就是在这些涡系中相互传递；一般而言，大涡生成能量，依次传递给小涡，并最终耗散。

而对于一个平衡的系统，比如完全发展的湍流，大涡生成的能量不多不少的被小涡全部耗散掉。这种情况下，可以认为决定小尺度湍流现象与运动细节（尺度η）的参数只有流体的运动粘性ν（影响传递）和能量耗散率ε（影响耗散），即有η~ν^aε^b，其中a和b为待求系数。实施量纲分析法可得：

上式中的η便是粘性起作用的尺度，也就是通常所说的Kolmogorov尺度或耗散尺度。如果进一步分析，可发现以耗散尺度和耗散脉动速度为特征的雷诺数大约为1，即粘性主导了这里的流动。

而对于完全发展的湍流，耗散率ε又等于大涡（速度为U，尺度为L₀）传递过来的能量，即有ε~U²/t=U³/L₀。此处套入雷诺数Re的定义，带入上式并根据量纲分析，则可得出η~L₀/Re^3/4。到这里，相信大家对我们前面文章中提到的耗散尺度的概念与表达式便一目了然了。

虽然我们已经能够量化湍流的耗散尺度，然而柯老仙追寻的极致，却是用最简单的公式来描述复杂的湍流世界。

如果更仔细的研究湍流能级串会发现：湍动能主要被包含于较大尺度的涡中，最小尺度涡的主要任务为耗散，且含能极少。对于宏观尺度的各向异性的大涡，我们不可能总结出普适的规律——不过好在大涡容易求解或观测，而阻挡湍流理论前进的其实是人们对惯性子区的未知。

为了得到对惯性子区更普适的湍流描述，接下来我们看看这个尺度内湍流的含能E(k)与涡尺度L及耗散率ε的关系。考虑到多普勒频移的偏差问题，在实际进行能量谱分析的时候，更习惯使用波数空间，因此尺度L演化为波数k。

从耗散尺度的公式η~L₀/Re^3/4可知，雷诺数越大，耗散尺度越小，流场中的涡系结构越丰富，但耗散的多少仍取决于大涡的生成量，不被粘性所左右。因此从本质上讲，小尺度湍流的统计特性可以认为由耗散率ε唯一确定，而与粘性无关，那么针对不同的流体具有普适性。于是湍流能量可以描述为波数和耗散率的函数：E(k)~k^αε^β，其中α和β为待求参数，再一次祭出量纲分析法：

于是，我们便得到了著名的-5/3幂率。值得一提的是，大家都知道K41理论是柯尔莫果洛夫的杰作，实际上-5/3幂率出自于莫斯科学派的另外一位代表人物奥布科夫。只是，由于他的工作是基于前一年柯老仙对概率论中随机过程能量谱的阐述开展的，而且奥布科夫的-5/3幂率与柯老仙的2/3标度律是等价的湍流能量谱表述，因此人们习惯把相关的工作都归结到柯老仙的身上。

不过如此这般分解之后，相信许多人对于湍流能量谱的理论仍然不能完全信服，因为其中包含了相当的假设。其实上述两小节中引用的η~ν^aε^b和E(k)~k^αε^β便是基于柯老神仙的第一和第二相似性假设而得出。不过令人惊讶的是，无数后继的学者在湍流实验中验证了柯老仙的理论。

也许这就是“流体力学的直觉”吧。而每次在湍流理论和论文中读到相关内容的时候，笔者都不由的虎躯一震，究竟是怎样的天纵奇才，方能在谈笑间化解湍流世界的谜题。

作为现代流体力学的集大成者，柯老仙虽然不直接修炼葵花宝典，但通过N-S方程对于湍流的解读，加上其现代概率论奠基人的数学内功，依然能够笑傲江湖。还记得天龙八部里面，乔大侠使用最普通的太祖长拳一样可以轻松应对少林高僧。无他，唯内功深厚尔。

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