漫话中秋——嫦娥奔月、月饼制作和悬挂灯笼的力学问题

点击上方蓝字了解更多计算与STEM领域研究前沿结构的自由振动结构的自由振动是指结构在不受外部强迫力（如外部冲击或连续作用的力）影响下，仅由于初始扰动而发生的振动。研究结构的自由振动具有重要的工程和科学意义，主要体现在以下几个方面：1. 安全性评估：结构的固有频率与外部激励频率（如地震、风荷载、机械振动等）接近时，可能引发共振，共振会导致结构的振幅大幅增加，可能引起破坏性损伤。因此，了解结构的固有频率有助于避免共振现象，从而保障结构的安全性。2. 设计优化：在设计阶段，通过研究结构的自由振动特性，可以优化结构的质量分布和刚度分布，使其避开可能导致共振的频率范围，从而提高结构的可靠性和使用寿命。3. 故障诊断：通过监测结构的振动特性（如固有频率和振型），可以识别出结构的潜在损伤或退化。例如，固有频率的变化可能表明结构刚度的降低，从而提示可能存在的损伤。4. 材料和结构评估：研究自由振动可以帮助评估材料的弹性特性、阻尼特性等。不同材料和结构形式会影响固有频率和振型，了解这些特性可以指导材料选择和结构设计。5. 振动控制：在一些高精度或特殊环境中（如航天器、精密仪器等），需要控制结构的振动。研究自由振动特性是设计有效振动控制方案的重要基础。下面给大家分享一下相关的研究： 以上是关于实心梁、薄壁结构和加筋板自由振动分析中的应用。研究人员通过计算振型和固有频率，捕捉到了结构的剪切变形和翘曲特征。模态分析在升学、空气动力学等领域有非常重要的应用。有限元分析有限单元（Finite Element）是一种用于分析和解决复杂物理问题的数值方法。其基本思想是将一个复杂的连续体或结构划分为多个较小且相对简单的单元（通常称为有限单元），然后通过求解这些单元上的问题来近似整个结构的行为。每个有限单元是通过节点（即单元边界上的特定点）相互连接的，并具有自己的局部坐标系和特定的物理属性。通过组装所有有限单元的方程，最终得到一个全局方程组，该方程组可以用来求解整个结构的应力、应变、位移、温度场等问题。有限元的理论性研究，即基础研究，关注的是有限元法的数学原理、数值分析、收敛性、稳定性和误差分析等。这类研究通常不直接涉及具体的工程应用，而是致力于为有限元法提供更加坚实的理论基础。常见的研究方向有如下几个：1. 变分原理与弱形式变分原理：有限元法的理论基础源于变分原理，即从一个物理问题出发，通过构造一个能量泛函，寻找其极值来求解问题。这种方法将偏微分方程问题转化为变分问题，奠定了有限元法的数学基础。弱形式：通过引入弱形式，可以将原问题中的偏微分方程弱化，使其适用于更广泛的函数空间，尤其是分段连续的有限元函数空间。这一过程使得问题在有限维空间中可以近似求解。2. 有限元函数空间Sobolev空间：研究有限元法中的函数空间，如Sobolev空间，对理解有限元解的性质至关重要。Sobolev空间是定义在非整数阶导数上的函数空间，适用于处理更广泛的物理问题。插值理论：研究如何构造适合不同问题的有限元函数空间，以及这些空间的插值性质，这是保证有限元法精度的基础。3. 误差分析误差估计：这是有限元基础研究中的核心内容之一。研究如何估计有限元解与实际解之间的误差，尤其是a priori和a posteriori误差估计。a priori误差估计提供了关于网格划分和形函数选择的指导，而a posteriori误差估计用于自适应网格划分，提升解的精度。超收敛性：超收敛性现象是指在某些特殊情况下，有限元解在某些点或沿某些方向的误差收敛速度比通常情况要快。研究这种现象有助于更好地理解有限元法的误差行为。4. 收敛性和稳定性分析Lax-Milgram定理：这是有限元法收敛性和稳定性分析的基础之一。它提供了弱形式问题存在唯一解的条件，并为有限元法的数值解提供了收敛性保证。Céa定理：该定理用于分析有限元法的收敛性，它表明有限元解的误差上界与最佳近似解的误差成比例，是误差估计的重要工具。5. 高阶有限元与多重网格法高阶有限元方法：研究如何构造和分析高阶有限元方法，这些方法可以在更少的单元下提供更高的精度，但同时也增加了计算复杂度。多重网格法：这是提高有限元求解效率的重要理论之一。通过不同层次的网格协同工作，可以显著加速求解过程，同时保持较高的精度。6. 非线性有限元理论非线性问题：涉及非线性材料行为、大变形、接触问题等。非线性有限元理论研究如何从理论上保证这些问题的有限元解的存在性、唯一性和收敛性。迭代求解算法：如牛顿-拉夫森法的收敛性分析和改进，为有效求解非线性问题奠定了理论基础。7. 多尺度与多物理场问题多尺度分析：研究如何在有限元框架下处理具有不同尺度的物理现象，确保小尺度现象对大尺度解的影响被正确捕捉。耦合问题：理论研究如何有效耦合不同的物理场（如热-力、电-磁等），确保耦合有限元方法的稳定性和收敛性。这些基础研究领域为有限元法的发展提供了理论保障，推动了其在更加复杂和多样化问题中的应用，同时也引导了新算法和新方法的开发。例如，科学家研究了一类低阶四边形有限元在求解控制不可压缩流体流动的定常Navier-Stokes方程时的性能。 结构拓扑优化和逆向设计拓扑优化是一种用于设计优化的计算方法，其目标是在给定的材料体积或质量约束下，通过调整结构的材料分布，使结构在特定的性能指标（如刚度、强度、振动频率等）上达到最优。主要研究内容：算法发展：研究新型算法以提高优化速度和结果精度，例如多尺度方法、基于机器学习的拓扑优化。多物理场耦合：在考虑多个物理场（如热-力耦合、电-磁耦合等）共同作用下的结构拓扑优化，研究如何在优化中处理这些复杂的相互作用。制造约束与可制造性：将制造工艺（如增材制造、铸造等）的约束融入拓扑优化中，确保优化结果可实现。不确定性优化：研究在材料参数或载荷不确定性条件下的拓扑优化，以提高结构的鲁棒性和可靠性。 例如研究人员研究了一种考虑接触作用的结构拓扑优化算法，用以分析齿轮、开关和夹具等相关的器件的拓扑优化。逆向设计（Reverse Engineering）是一种通过对现有的物体或结构进行分析和测量，重建其设计过程或生成其数字模型的方法。与传统设计从概念到实体的正向设计过程不同，逆向设计从现有产品或结构出发，推导出其几何形状、材料特性和功能。逆向设计会涉及到以下的相关关键概念：数据采集：利用三维扫描、CT扫描、光学测量等技术获取现有物体的几何数据和形状信息。数字建模：基于采集的数据，重建物体的CAD模型或有限元模型，包括几何建模、曲面拟合、分割和特征提取。功能分析：通过分析逆向设计获得的模型，推测原始设计的意图、功能和性能，并进行必要的改进或优化。再制造：将逆向设计获得的模型用于制造过程，以复 制或改进现有产品。主要的研究内容有：数据处理与建模：研究高效的数据处理方法，包括噪声过滤、数据压缩和高精度曲面重建等。逆向设计的自动化：开发自动化工具和算法，将逆向设计过程中的重复性任务自动化，提高效率。逆向工程与优化结合：结合拓扑优化，将逆向设计的结果用于进一步优化设计，以提升性能或减小材料用量。不确定性与鲁棒性：研究在测量数据存在不确定性或缺失的情况下，如何进行鲁棒的逆向设计。例如，科研人员用了去均匀化拓扑优化程序，对由三维非结构化六面体离散化的复杂工程结构进行了求解。使用矩形孔微观结构作为多尺度优化的基础材料，由于微观结构的周期性，这种粗尺度几何结构可以通过优化的填充物被上采样为精细的单尺度物理几何结构，结构性能仅略有损失，成本只是精细尺度解决方案的一小部分。3D非结构化网格上的上采样是通过流表面跟踪实现的，与优化的局部方向对齐。可以调整物理几何形状的周期性，使材料既可以作为结构部件，也可以作为增材制造设计的有效填充物。 超材料超材料（Metamaterials）是指通过人工设计和制造的具有特殊性质的材料，这些性质在自然界中通常不存在或难以实现。超材料的独特性来源于其结构而非材料的组成成分，这些结构通常在波长尺度以下，能够通过与电磁波、声波或弹性波的相互作用产生异常的物理效应。超材料关键特性负折射率：超材料可以实现负折射率，这意味着在这些材料中，电磁波的传播方向与能量流动方向相反。负折射率材料可以应用于隐身技术和超透镜，后者能够突破传统光学极限，实现远超衍射极限的成像。超分辨率成像：由于超材料可以操控光波的相位和振幅，它们能够被用于设计超透镜，实现比传统透镜更高的成像分辨率。这种能力源于超材料能够捕捉和传递通常会被传统材料丢失的近场信息。可调谐性：超材料的性质可以通过改变其结构参数（如几何形状、排列方式）进行调谐。这种可调谐性使得超材料在自适应光学器件、可调谐滤波器、可重构天线等领域具有广泛应用。带隙结构：一些超材料具有带隙结构，在特定频率范围内可以阻挡波的传播。这一特性在光子晶体、声子晶体、弹性波带隙结构中应用广泛，用于设计波动的控制和隔离设备。超材料的相关研究电磁超材料：研究电磁超材料主要集中在操控电磁波（如微波、红外光、可见光）的传播特性上。研究包括负折射材料、超透镜、隐形斗篷、电磁屏蔽等。这类研究推动了微波通信、天线设计、雷达隐身等技术的发展。声学超材料：声学超材料能够操控声波的传播，研究方向包括声波负折射、声学隐身、声学超透镜、隔音和降噪等。声学超材料在医学超声成像、噪声控制、声学传感器等领域有广泛应用。机械超材料：机械超材料通过操控弹性波或应力波的传播，实现特殊的力学性能，如负泊松比材料（膨胀性材料）、减振结构、冲击缓冲材料等。这类研究有助于开发新型的防护材料、减振系统和冲击能量管理装置。光子晶体与量子超材料：光子晶体是通过周期性结构操控光子的行为，实现特定频率的光子带隙。研究包括光子带隙材料、光子晶体光纤、量子级联激光器等。量子超材料研究则探索了在纳米尺度下材料的量子行为及其应用。多功能超材料：结合多种物理场（如电磁、声学、热学）的超材料设计。研究多功能超材料的耦合效应和协同设计，例如光热耦合超材料、电声耦合超材料等，用于能量收集、传感、制冷等领域。制造技术与实验验证：研究包括如何通过纳米制造、3D打印等先进制造技术实现复杂的超材料结构，以及如何通过实验手段验证超材料的特性。这些研究是将超材料应用于实际工程的重要环节。例如：科研人员提出了一种用于宽带非互易波抑制的有源元波束的设计，该波束可以在前向入射时强烈抑制透射波，在后向入射时放大透射波。元梁由压电传感器和致动器组成，通过前馈控制回路连接。并有望在未来将所提出的控制原理应用于高维系统。 相场断裂模型和近场动力学模型相场断裂模型和近场动力学模型是现代断裂力学和材料科学中用于模拟裂纹扩展和破坏过程的两种先进数值方法。它们各自以不同的理论基础和方法论处理复杂的断裂问题。相场断裂模型（Phase Field Fracture Model）是一种基于能量最小化的断裂模拟方法，用于描述材料中裂纹的萌生和扩展。该模型通过引入一个相场变量来表示材料的断裂状态，避免了传统断裂力学中需要明确追踪裂纹面的复杂性。以下是相场法的相关概念：相场变量：相场变量通常在[0, 1]之间取值，表示材料的完整性。值为0代表完全断裂，值为1代表未受损区域。裂纹通过相场变量的过渡区域描述，宽度由一个内部长度参数控制。能量函数：相场断裂模型通过定义一个总能量函数来描述材料的行为，该函数包含弹性能、断裂能和外力的势能。模型的核心是通过最小化这一能量函数来预测裂纹的扩展路径和断裂过程。广义裂纹模型：相场断裂模型能够自然地描述裂纹的复杂行为，包括裂纹的萌生、分叉、合并等现象，而不需要显式地追踪裂纹面。 相场法常见的研究内容有：数值实现：研究如何高效地实现相场断裂模型，常用的数值方法包括有限元法、有限差分法等。特别是在处理复杂几何和三维问题时，数值效率和精度是研究的重点。耦合多物理场：相场断裂模型可以与其他物理场（如热场、流场）耦合，用于模拟复杂的多物理场断裂问题，如热应力引发的裂纹扩展。参数标定与验证：研究如何通过实验数据对模型参数进行标定，以及如何验证相场断裂模型的预测能力。实验验证通常涉及材料的断裂韧性测量和裂纹扩展路径的观测。应用领域：相场断裂模型广泛应用于金属、陶瓷、聚合物等材料的断裂分析，还用于预测复合材料、岩石等复杂材料的断裂行为。近场动力学模型（Peridynamics）是一种非局部的连续介质力学理论，用于模拟断裂和破坏过程，特别适用于处理传统连续介质力学中因裂纹扩展和大变形而出现的奇异性问题。近场动力学的关键概念有：非局部相互作用：与传统的连续介质力学不同，近场动力学模型中物体的运动方程基于非局部相互作用。这意味着材料点之间的力学相互作用不仅仅依赖于局部的应变梯度，而是通过积分形式来描述，考虑了一定范围内其他材料点的影响。位移场积分方程：近场动力学模型使用积分方程而非偏微分方程来描述材料的运动学关系。这种形式能够自然地处理裂纹扩展，因为裂纹的出现不会导致数学上的奇异性问题。断裂准则：在近场动力学模型中，断裂通过材料点之间的键断裂来表示。随着加载的增加，这些键会逐渐断裂，从而自然形成裂纹并模拟其扩展。近场动力学的研究方向有：数值方法与实现：由于近场动力学方程是积分方程，研究如何高效、稳定地求解这些方程是一个重要的课题。常用的数值方法包括直接求解法、网格自由方法等。模型验证与参数标定：为了确保近场动力学模型能够准确描述实际材料的行为，需要进行大量的实验验证，并对模型中的参数进行合理的标定。多尺度分析：研究如何将近场动力学模型与其他尺度的模型（如分子动力学、传统连续介质模型）耦合，进行跨尺度的材料行为模拟。应用领域：近场动力学模型在模拟断裂、冲击、破碎等问题上具有优势，尤其在处理含有复杂几何形状和多裂纹系统的问题时。它在材料科学、岩石力学、航空航天、国防工业等领域都有广泛应用。 如果你觉得此文对你有帮助，请点赞，谢谢！计算机技术在科学&技术&工程&数学中得到了广泛的应用，力学方面，计算机技术成为了科学的第四次革命性技术，现在基于计算机的数据科学已经逐步成为力学等其他科学发现的第四范式。人工智能、大数据、数字孪生等概念已经逐步成为当今时代的主题。智能制造、智能算法、数据驱动力学、大语言模型、自动驾驶在当今社会展现出巨大潜力，吸引了大量的研究人员。同时高性能显卡和多核中央处理器的出现为大规模数值模型的高性能计算提供了强大算力。然而因为该领域的论文较多，涉及内容较广，需要的知识量较大，不仅需要力学，数学，物理的知识，还需要计算机、数据科学、大数据分析的知识。 来源：STEM与计算机方法