多体动力学及其在工程中的应用

    多体动力学（Multibody Dynamics, MBD）是研究多个相互作用的刚体或柔性体之间的运动关系及其动态行为的学科。它主要关注系统中各个部分如何相互作用，并如何在外部力的作用下运动和变形。这类系统通常经历大范围的相对运动，导致其动力学方程表现出高度的非线性特征。多体动力学在现代机器人、机构、车辆、机械臂和空间结构的设计中扮演着重要的角色，因为它是这些系统设计的理论基础。
    传统的多体动力学诞生于二十世纪六十年代末期，与同时期稍早发展的有限元法不同，有限元法关注单个体或结构的力学细节，主要解决的问题有结构的强度校核、承载能力分析、固有模态计算等，而多体动力学则重点关注机械系统的动力学特性，包括部件运动规律、连接件约束反力、外驱动力，控制稳定性等。经过几十年的发展，多体动力学已与有限元深度融合，如今的多体动力学可同时求解刚体运动和柔性变形。
    多体动力学根据系统中物体的力学特性可分为：多刚体系统、柔性多体系统、刚柔混合多体系统。
    多刚体系统：可以忽略系统中物体的弹性变形而将其当作刚体来处理的系统，该类系统常处于低速运动状态；
    柔性多体系统：系统在运动过程中会出现物体的大范围运动与物体的弹性变形的耦合，从而必须把物体当作柔性体处理的系统，通常为大型、轻质而高速运动的系统；
    刚柔混合多体系统：系统中有部分物体当作刚体、部分当作柔性体来处理。

    上世纪70年代计算机技术不断发展，以多体系统动力学为基础的机械系统动力学仿真分析技术开始出现，并不断趋于成熟,与此同时又促进了多体系统动力学的发展，在80年代后形成了一门新的学科--计算多体系统动力学，它与有限元分析两者构成CAE 技术的重要内容，广泛应用于航空航天、汽车、铁路机车、机器人、机构、人机物等领域。很多诸如机器人、链、机构、人体模型或其它生物系统等这类的机械系统，都可以等效地描述为用刚体或柔性体组成的系统模型，称这些系统和模型为“多体系统”，而多体系统动力学就是研究由刚体及柔体组成的多体系统的运动学、静力学和动力学等问题，其研究对象包括两个学科：多刚体系统动力学(multi-rigid-bodydynamics)和柔性多体系统动力学(fexiblemulti-body dynamics)。其中多刚体系统动力学历经从上世纪60年的发展初期，到80年代趋于成熟这一过程，日前已形成多种研究方法，主要包括经典力学上的牛顿-欧拉方法和拉格朗门方法、kane力法、变分方法、图论方法及旋量方法等。

    牛顿-欧拉方法主要是考虑作用在所有分析系统物体上的约束力，根据作用在每个物体上的力和力矩平衡条件写出系统的运动微分方程。该方法推导过程简单，描述清楚直观，缺点是微分方程的数目巨大，特别是将未知理想约束反力引入到了动力学方程当中，因此所得动力学方程维数大，计算效率低。该方法的研究代表是德国的Schiehlen教授，并开发了基于Newton-Euler法的NEWEUL软件，该软件对于开环系统得到是组 ODE方程组，闭环系统是微分-代数方程;分别用达朗贝尔原理和Jourdan 原理消去完整约束和非完整约束中的约束反力。

    kane 方法是由Kane 本人创立,其学生 Huston等人发展的,故该方法以其名字命名Kane 方法利用广义速率描述系统运动，代替了原来采用的广义坐标描述的方法，然后用D'Alembert 原理推导系统动力学方程。在建立动力学方程中不会像牛顿-欧拉法出现未知的理想约束反力，可用于完整系统和非完整系统。

    变分方法是通过数值计算进行运动学、动力学分析的方法，而无需建立相应的动力学方程。其优点有：倘若分析对象为带控制的多刚体系统，其动力学分析能结合系统的优化一同进行;系统不受闭环数目的限制，不论系统开环或闭环均能够采用相同的处理方式,具有较高的灵活性等优点。变分方法主要用于带控制工业机器人的设计与计算。

    图论方法(R-W 方法)是Roberson 和J.Wittenburg 提出的一种方法，故以两人名字缩写命名。该方法的最大特点是，对于任意结构的系统最终都能描述为一套统一的数学模型，这是因为它开创性的用图论的概论来解决对任意多刚体系统的结构特征描述的问题，丰富了多体动力学理论，因此称其为多刚体系统动力学研究的一个重大进展。该方法以铰的相对坐标为广义坐标，对于树形开环系统得到是一组最小数目的ODE方程组，而对于闭环系统则采用切断铰的方式得到派生树系统。

    旋量方法是把矢量与矢量矩接合在一起的方法，一方面它使用了旋量这个概念，另一方面将对偶数作为工具，从而使牛顿-欧拉方程表达为一种更为简练的形式。而在建模的描述方法方面主要有两种：绝对坐标和相对坐标描述：绝对坐标描述时平面问题描述一个部件需要3个坐标，空间问题一般采用欧拉角或笛卡尔描述物体姿态时需要6个坐标，采用欧拉四元数时则增加到7个坐标：通过广义坐标描述的约束方程定义各部件间的相连约束关系。该方法的研究代表人物Haug，Haug 等创立了用于多刚体系统的非常适合计算机自动组集建模和求解的笛卡尔方法。该方法描述系统简练程式化高，著名的 ADAMS和DADS软件均采用该描述方法；缺点是方程数目大，影响计算效率。相对坐标描述方法则采用的是连接相邻刚体之间铰的自由度坐标为广义坐标，属于最小数目坐标，因此所得方程数目少，计算效率高，对于开环系统得到是一组ODE方程组，非常适合于开环链状结构;但相比绝对坐标，相对坐标描述程化式不高，动力学方程推导复杂等缺点。GarciadeJalón等提出自然坐标法(完全笛卡尔坐标)是一种不同于绝对坐标和相对坐标的方法，该方法计算效率高，无需采用欧拉角或欧拉四元数来描述刚体姿态，因此坐标数目小，且更为重要的一点在于其非常适用于计算机的自动建模，所得的约束方程是线性或二次方程，非常易于求解。