如何选择隔震支座？

很多朋友在看了这篇文章《理解几何非线性分析-从晾衣服开始？》后，比较好奇手算该怎么计算出来？今天我们就来送上答案。让我们考虑几何非线性和大变形条件，来推导这个问题。我们将一步一步地进行分析：Step1：问题条件已知条件：钢丝直径d=5mm=0.005m钢丝长度L=5m弹性模量E=200GPa=200×10^9Pa重物质量m=5kg重力加速度g≈9.8m/s²Step2：考虑几何非线性在大变形条件下，我们不能使用小角度近似。我们需要考虑钢丝的实际长度变化。设：y为中点垂直位移T为钢丝张力θ为钢丝与水平面的夹角Step3：力平衡方程垂直方向的力平衡：2Tsinθ=mgStep4：几何关系在大变形条件下：tanθ=y/(L/2)sinθ=y/sqrt((L/2)^2+y^2)cosθ=(L/2)/sqrt((L/2)^2+y^2)Step5：应变计算真实应变ε=ln(L'/L)，其中L'是变形后的长度L'=2*sqrt((L/2)^2+y^2)ε=ln(2*sqrt((L/2)^2+y^2)/L)Step6：应力-应变关系对于大应变，我们可以使用非线性应力-应变关系，如Ramberg-Osgood模型。但为简化计算，我们仍使用线性关系：σ=EεStep7：张力计算T=σA=EεA=EA*ln(2*sqrt((L/2)^2+y^2)/L)Step8：建立方程将张力表达式代入力平衡方程：2*[EA*ln(2*sqrt((L/2)^2+y^2)/L)]*[y/sqrt((L/2)^2+y^2)]=mgStep9：求解方程这个方程是非线性的，无法直接求解。我们需要使用数值方法，如牛顿-拉普森法。设函数f(y)=2*[EA*ln(2*sqrt((L/2)^2+y^2)/L)]*[y/sqrt((L/2)^2+y^2)]-mg我们需要找到f(y)=0的解。Step10：数值求解使用Python的scipy库进行数值求解：importnumpyasnpfromscipy.optimizeimportfsolveE=200e9#弹性模量A=np.pi*(0.005**2)/4#横截面积L=5#长度m=5#质量g=9.8#重力加速度deff(y):return2*(E*A*np.log(2*np.sqrt((L/2)**2+y**2)/L))*(y/np.sqrt((L/2)**2+y**2))-m*gy_solution=fsolve(f,0.05)#初始猜测值为0.05mprint(f"垂直位移y={y_solution[0]:.6f}m")#计算张力T=E*A*np.log(2*np.sqrt((L/2)**2+y_solution[0]**2)/L)print(f"张力T={T[0]:.2f}N")运行这段代码，得到结果：垂直位移y≈0.057996m=58mm张力T≈1056.39N这些结果与仿真结果（变形57mm，张力1037N）非常接近。结论：通过考虑几何非线性和大变形条件，我们得到了更准确的结果，与仿真结果基本一致。这表明在处理大变形问题时，考虑非线性效应是至关重要的。关于变形、轴向力与绳子直径的关系我们推导出了计算方程，也便知道了变形、轴向力与绳子直径的关系，可以利用Python脚本绘制曲线。脚本如下：importnumpyasnpfromscipy.optimizeimportfsolveimportmatplotlib.pyplotasplt#常量定义E=200e9#弹性模量L=5#长度m=5#质量g=9.8#重力加速度defcalculate_y_and_T(d):A=np.pi*(d**2)/4#横截面积deff(y):return2*(E*A*np.log(2*np.sqrt((L/2)**2+y**2)/L))*(y/np.sqrt((L/2)**2+y**2))-m*gy_solution=fsolve(f,0.05)[0]#初始猜测值为0.05mT=E*A*np.log(2*np.sqrt((L/2)**2+y_solution**2)/L)returny_solution,T#生成直径范围diameters=np.linspace(0.001,0.03,300)#1mmto10mm#计算每个直径对应的变形和轴向力deformations=[]tensions=[]fordindiameters:y,T=calculate_y_and_T(d)deformations.append(y)tensions.append(T)#绘图plt.figure(figsize=(12,5))#变形与直径的关系曲线plt.subplot(1,2,1)plt.plot(diameters*1000,np.array(deformations)*1000)plt.xlabel('直径(mm)')plt.ylabel('变形(mm)')plt.title('变形与直径的关系')plt.grid(True)#轴向力与直径的关系曲线plt.subplot(1,2,2)plt.plot(diameters*1000,tensions)plt.xlabel('直径(mm)')plt.ylabel('轴向力(N)')plt.title('轴向力与直径的关系')plt.grid(True)plt.tight_layout()plt.show()#输出5mm直径时的结果d_5mm=0.005y_5mm,T_5mm=calculate_y_and_T(d_5mm)print(f"当直径为5mm时：")print(f"变形={y_5mm*1000:.2f}mm")print(f"轴向力={T_5mm:.2f}N")这段代码会生成以上两个图表：一个显示变形与直径的关系，另一个显示轴向力与直径的关系。变形的趋势是符合的，再看轴向力。。。。。问题来了：为什么轴向力与绳子直径的关系是单调增加的呢？这是因为：上述方法通过几何关系来计算L‘即绳子伸长量的，对于刚性相对较小的情况是相对准确的，如细绳为棉线，则在载荷作用下，绳子变形后形状为三角形。而实际上，随着绳子直径增加，刚性增强，绳子的变形不再是直线形式，而是曲线，自然伸长量也不能用三角关系式去计算。因此这种方法得到的轴向力与直径的关系是不对的，或者说只在一定范围内精度可接受。至于通用的解析方法，是得花点功夫去推导的。以下是通过Ansys将绳子半径R参数化，获得的变形和轴向力随直径增加的变化趋势：因为是钢绳，随着直径增加，刚性大幅增加，变形急剧降低，而轴向力在直径14mm时达到最大值，随后直径增加，轴向力减小。来源：ABAQUS仿真世界