如何选择隔震支座？

很多朋友在看了这篇文章《理解几何非线性分析 - 从晾衣服开始？》后，比较好奇手算该怎么计算出来？今天我们就来送上答案。让我们考虑几何非线性和大变形条件，来推导这个问题。我们将一步一步地进行分析：Step1：问题条件已知条件：钢丝直径 d = 5mm = 0.005m钢丝长度 L = 5m弹性模量 E = 200GPa = 200 × 10^9 Pa重物质量 m = 5kg重力加速度 g ≈ 9.8 m/s²Step2：考虑几何非线性在大变形条件下，我们不能使用小角度近似。我们需要考虑钢丝的实际长度变化。设：y 为中点垂直位移T 为钢丝张力θ 为钢丝与水平面的夹角Step3：力平衡方程垂直方向的力平衡：2T sin θ = mgStep4：几何关系在大变形条件下：tan θ = y / (L/2)sin θ = y / sqrt((L/2)^2 + y^2)cos θ = (L/2) / sqrt((L/2)^2 + y^2)Step5：应变计算真实应变 ε = ln(L' / L)，其中 L' 是变形后的长度L' = 2 * sqrt((L/2)^2 + y^2)ε = ln(2 * sqrt((L/2)^2 + y^2) / L)Step6：应力-应变关系对于大应变，我们可以使用非线性应力-应变关系，如 Ramberg-Osgood 模型。但为简化计算，我们仍使用线性关系：σ = EεStep7：张力计算T = σA = EεA = EA * ln(2 * sqrt((L/2)^2 + y^2) / L)Step8：建立方程将张力表达式代入力平衡方程：2 * [EA * ln(2 * sqrt((L/2)^2 + y^2) / L)] * [y / sqrt((L/2)^2 + y^2)]= mgStep9：求解方程这个方程是非线性的，无法直接求解。我们需要使用数值方法，如牛顿-拉普森法。设函数 f(y) = 2 * [EA * ln(2 * sqrt((L/2)^2 + y^2) / L)] * [y / sqrt((L/2)^2+ y^2)] - mg我们需要找到 f(y) = 0 的解。Step10：数值求解使用 Python 的 scipy 库进行数值求解：importnumpyasnpfromscipy.optimizeimportfsolveE =200e9# 弹性模量A = np.pi * (0.005**2) /4# 横截面积L =5# 长度m =5# 质量g =9.8# 重力加速度deff(y):return2* (E * A * np.log(2* np.sqrt((L/2)**2+ y**2) / L)) * (y / np.sqrt((L/2)**2+ y**2)) - m * gy_solution = fsolve(f,0.05)# 初始猜测值为0.05mprint(f"垂直位移 y = {y_solution[0]:.6f} m")# 计算张力T = E * A * np.log(2* np.sqrt((L/2)**2+ y_solution[0]**2) / L)print(f"张力 T = {T[0]:.2f} N")运行这段代码，得到结果：垂直位移 y ≈ 0.057996 m = 58 mm张力 T ≈ 1056.39 N这些结果与仿真结果（变形57mm，张力1037N）非常接近。结论： 通过考虑几何非线性和大变形条件，我们得到了更准确的结果，与仿真结果基本一致。这表明在处理大变形问题时，考虑非线性效应是至关重要的。关于变形、轴向力与绳子直径的关系我们推导出了计算方程，也便知道了变形、轴向力与绳子直径的关系，可以利用Python脚本绘制曲线。脚本如下：importnumpyasnpfromscipy.optimizeimportfsolveimportmatplotlib.pyplotasplt# 常量定义E =200e9# 弹性模量L =5# 长度m =5# 质量g =9.8# 重力加速度defcalculate_y_and_T(d):A = np.pi * (d**2) /4# 横截面积deff(y):return2* (E * A * np.log(2* np.sqrt((L/2)**2+ y**2) / L)) * (y / np.sqrt((L/2)**2+ y**2)) - m * gy_solution = fsolve(f,0.05)[0]# 初始猜测值为0.05mT = E * A * np.log(2* np.sqrt((L/2)**2+ y_solution**2) / L)returny_solution, T# 生成直径范围diameters = np.linspace(0.001,0.03,300)# 1mm to 10mm# 计算每个直径对应的变形和轴向力deformations = []tensions = []fordindiameters:y, T = calculate_y_and_T(d)deformations.append(y)tensions.append(T)# 绘图plt.figure(figsize=(12,5))# 变形与直径的关系曲线plt.subplot(1,2,1)plt.plot(diameters *1000, np.array(deformations) *1000)plt.xlabel('直径 (mm)')plt.ylabel('变形 (mm)')plt.title('变形与直径的关系')plt.grid(True)# 轴向力与直径的关系曲线plt.subplot(1,2,2)plt.plot(diameters *1000, tensions)plt.xlabel('直径 (mm)')plt.ylabel('轴向力 (N)')plt.title('轴向力与直径的关系')plt.grid(True)plt.tight_layout()plt.show()# 输出5mm直径时的结果d_5mm =0.005y_5mm, T_5mm = calculate_y_and_T(d_5mm)print(f"当直径为5mm时：")print(f"变形 ={y_5mm*1000:.2f}mm")print(f"轴向力 ={T_5mm:.2f}N") 这段代码会生成以上两个图表：一个显示变形与直径的关系，另一个显示轴向力与直径的关系。变形的趋势是符合的，再看轴向力。。。。。问题来了：为什么轴向力与绳子直径的关系是单调增加的呢？ 这是因为：上述方法通过几何关系来计算L‘即绳子伸长量的，对于刚性相对较小的情况是相对准确的，如细绳为棉线，则在载荷作用下，绳子变形后形状为三角形。而实际上，随着绳子直径增加，刚性增强，绳子的变形不再是直线形式，而是曲线，自然伸长量也不能用三角关系式去计算。因此这种方法得到的轴向力与直径的关系是不对的，或者说只在一定范围内精度可接受。至于通用的解析方法，是得花点功夫去推导的。 以下是通过Ansys将绳子半径R参数化，获得的变形和轴向力随直径增加的变化趋势：因为是钢绳，随着直径增加，刚性大幅增加，变形急剧降低，而轴向力在直径14mm时达到最大值，随后直径增加，轴向力减小。来源：ABAQUS仿真世界