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回顾一下CFD各个发展阶段的背景，并给出当年见证的文献来源

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几乎所有计算流体动力学（CFD）问题的基础都是纳维-斯托克斯方程，这些方程定义了许多单相（气体或液体，但不是两者都有）流体流动。通过移除描述粘性作用的项，可以简化这些方程，得到欧拉方程。进一步简化，通过移除描述涡度的项，可以得到完全势方程。最后，对于亚音速和超音速流动中的小扰动（不是跨音速或高超音速），这些方程可以线性化，得到线性势方程。

历史上，首先是发展了解决线性势方程的方法。在20世纪30年代，发展了二维（2D）方法，使用流线绕过圆柱体到绕过翼型的共形变换。[1][2]

图：CFD计算机模拟在再入过程中，航天飞机周围高速气流的

最早期类似于现代CFD的计算之一是刘易斯·弗莱·理查森的计算，从某种意义上说，这些计算使用了有限差分并将物理空间划分为单元格。尽管它们戏剧性地失败了，但这些计算以及理查森的书《数值过程的天气预报》[3]为现代CFD和数值气象学奠定了基础。实际上，20世纪40年代使用ENIAC进行的早期CFD计算使用了接近理查森1922年书中的方法。[4]

可用的计算机能力推动了三维方法的发展。可能是第一个使用计算机模拟由纳维-斯托克斯方程控制的流体流动的工作是在洛斯阿拉莫斯国家实验室的T3小组进行的。[5][6]这个小组由弗朗西斯·H·哈洛领导，他被广泛认为是CFD的先驱之一。从1957年到1960年代末，这个小组开发了各种数值方法来模拟瞬态二维流体流动，如粒子在细胞中的方法[7]、流体在细胞中的方法[8]、涡度流函数方法[9]和标记和细胞方法[10]。弗罗姆的二维、瞬态、不可压缩流的涡度-流函数方法是世界上第一次处理强烈扭曲的不可压缩流。

第一篇三维模型的论文是由道格拉斯飞机公司的约翰·赫斯和A.M.O.史密斯在1967年发表的。[11]这种方法通过面片对几何表面进行了离散化，由此产生了被称为面片方法的这一类程序。他们的方法本身是简化的，因为它没有包括升力流动，因此主要应用于船体和飞机机身。第一个升力面片代码（A230）是由波音飞机公司的保罗·鲁伯特和加里·萨里斯在1968年的一篇论文中描述的。[12]随着时间的推移，波音（PANAIR, A502）[13]、洛克希德（Quadpan）[14]、道格拉斯（HESS）[15]、麦克唐纳飞机（MACAERO）[16]、NASA（PMARC）[17]和分析方法（WBAERO[18]、USAERO[19]和VSAERO[20][21]）开发了更先进的三维面片代码。其中一些（PANAIR、HESS和MACAERO）是高阶代码，使用高阶的表面奇异性分布，而其他一些（Quadpan、PMARC、USAERO和VSAERO）在每个表面面片上使用单一奇异性。低阶代码的优势是它们在当时的计算机上运行得更快。今天，VSAERO已经发展成为一个多阶代码，并且是这一类程序中最广泛使用的程序。它已经被用于许多潜艇、水面舰艇、汽车、直升机、飞机，以及最近的风力涡轮机的开发。它的姐妹代码USAERO是一个非稳态面片方法，也用于模拟高速列车和赛艇等事物。NASA的PMARC代码来自VSAERO的早期版本，以及PMARC的一个衍生版本，名为CMARC[22]，也是商业上可用的。

图：Hyper-X scramjet vehicle飞行器在7马赫速度下的CFD模拟

在二维领域，已经开发了许多面片代码用于翼型分析和设计。这些代码通常包括边界层分析，以便可以模拟粘性效应。理查德·埃普勒[de]开发了PROFILE代码，部分由NASA资助，该代码在20世纪80年代初可用。[23]这很快就被马克·德雷拉的XFOIL代码所跟随。[24]PROFILE和XFOIL都包含了二维面片代码，以及用于翼型分析工作的耦合边界层代码。PROFILE使用共形变换方法进行逆翼型设计，而XFOIL既有共形变换方法，也有逆面片方法用于翼型设计。

面片代码和全势代码之间的一个中间步骤是使用跨音速小扰动方程的代码。特别是，查理·博普在格鲁曼飞机公司在20世纪80年代初开发的三维WIBCO代码[25]得到了大量使用。

开发者转向全势代码，因为面片方法无法计算跨音速速度下的非线性流动。Earll Murman和波音公司的Julian Cole在1970年发表了使用全势方程的方法的第一种描述。[26] Frances Bauer、Paul Garabedian和纽约大学（NYU）Courant研究所的David Korn编写了一系列二维全势翼型代码，这些代码被广泛使用，最重要的是被称为Program H的代码。[27] Bob Melnik和他的团队在格鲁曼航空作为Grumfoil进一步发展了Program H。[28] Antony Jameson最初在格鲁曼飞机公司和NYU的Courant研究所，与David Caughey合作开发了重要的三维全势代码FLO22[29]于1975年。在此之后出现了许多全势代码，最终是波音的Tranair（A633）代码[30]，该代码至今仍被广泛使用。

下一步是欧拉方程，它承诺为跨音速流动提供更准确的解决方案。Jameson在他的三维FLO57代码[31]（1981）中使用的方法被其他人用来制作这样的程序，如洛克希德的TEAM程序[32]和IAI/分析方法的MGAERO程序。[33] MGAERO是独特的，因为它是一个结构化的笛卡尔网格代码，而大多数其他这样的代码使用结构化的身体拟合网格（除了NASA非常成功的CART3D代码[34]、洛克希德的SPLITFLOW代码[35]和佐治亚理工学院的NASCAR T-GT[36]）。Antony Jameson还开发了三维AIRPLANE代码[37]，该代码使用了非结构化四面体网格。

图：SpaceX星际飞船再入大气层的CFD模拟

在二维领域，马克·德雷拉和迈克尔·贾尔斯，当时是麻省理工学院的研究生，为翼型设计和分析开发了ISES欧拉程序[38]（实际上是一系列程序）。这个代码于1986年首次推出，并进一步发展成为MSES程序，用于设计、分析和优化单个或多个元素的翼型。[39] MSES在全世界都有广泛的使用。MSES的一个衍生品，用于设计和分析级联翼型的MISES[40]，是由哈罗德·扬格在麻省理工学院研究生时期开发的。

纳维-斯托克斯方程是发展的最终目标。像NASA Ames的ARC2D代码这样的二维代码首先出现。开发了许多三维代码（ARC3D、OVERFLOW、CFL3D是NASA的三个成功贡献），导致了许多商业软件包。

最近，CFD方法在工程中各种化学过程中模拟颗粒材料的流动行为方面获得了发展。这种方法已成为一种成本效益高的替代方案，提供了对复杂流动现象的细致理解，同时最小化了与传统实验方法相关的费用。[41][42]

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20个CFD常用方程，各自都有假设前提，你知道几个？

CFD可以看作是一组计算方法（下面讨论），用于解决控制流体流动的方程。在应用CFD时，一个关键步骤是决定需要使用哪些物理假设和相关方程来解决手头的问题。为了说明这一步，以下总结了20个常用方程中所采取的物理假设/简化。注意，以下一些方程可能可以通过多种方式推导。1. 守恒定律：Conservation laws (CL)，这些是CFD中考虑的最基本方程，例如，所有以下方程都可以从它们推导出来。对于单相、单种、可压缩流，考虑质量守恒、线性动量守恒和能量守恒。2. 连续介质守恒定律：Continuum conservation laws (CCL)，从CL开始。假设质量、动量和能量是局部守恒的：这些量是守恒的，不能“瞬间移动”到另一个地方，只能通过连续流动移动（见连续性方程）。另一种解释是，从CL开始，并假设一个连续介质（见连续介质力学）。得到的方程组是未封闭的，因为要解决它需要进一步的关系/方程：(a) 粘性应力张量的本构关系；(b) 扩散热通量的本构关系；(c) 状态方程（EOS），如理想气体定律；以及，(d) 将温度与焓或内能等量联系起来的热状态方程。3. 可压缩纳维-斯托克斯方程：Compressible Navier-Stokes equations (C-NS)，从CCL开始。假设牛顿粘性应力张量（见牛顿流体）和傅里叶热通量（见热通量）。C-NS需要增加一个EOS和一个热状态方程，才能有一个封闭的方程组。4. 不可压缩纳维-斯托克斯方程：Incompressible Navier-Stokes equations (I-NS)，从C-NS开始。假设密度始终且无处不在是常数。另一种获得I-NS的方法是假设马赫数非常小，并且流体中的温度差异也非常小。结果是，质量守恒和动量守恒方程与能量守恒方程解耦，因此只需要解决前两个方程。5. 可压缩欧拉方程：Compressible Euler equations (EE)，从C-NS开始。假设无摩擦流动且无扩散热通量。6. 弱可压缩纳维-斯托克斯方程：Weakly compressible Navier-Stokes equations (WC-NS)，从C-NS开始。假设密度变化仅依赖于温度而不依赖于压力。例如，对于理想气体，使用 𝜌 = 𝑝0 /（𝑅𝑇），其中𝑝0是方便定义的参考压力，始终且无处不在是常数，𝜌是密度，𝑅是特定气体常数，𝑇是温度。结果是，WC-NS不捕捉声波。在WC-NS中也常见忽略能量守恒方程中的压强功和粘性加热项。WC-NS也称为低马赫数近似的C-NS。7. 布辛涅斯克方程：Boussinesq equations，从C-NS开始。假设密度变化始终且无处不在可以忽略，除了动量守恒方程中的重力项（其中密度乘以重力加速度）。还假设各种流体属性如粘度、热导率和热容始终且无处不在是常数。布辛涅斯克方程在微观气象学中广泛使用。8. 可压缩雷诺平均纳维-斯托克斯方程和可压缩Favre平均纳维-斯托克斯方程：Compressible Reynolds-averaged Navier–Stokes equations和compressible Favre-averaged Navier-Stokes equations (C-RANS and C-FANS)，从C-NS开始。假设任何流动变量𝑓，如密度、速度和压力，可以表示为𝑓=𝐹+𝑓′′，其中𝐹是任何流动变量的集合平均，𝑓′′是从这个平均的扰动或波动。𝑓′′不一定很小。如果𝐹是经典的集合平均（见雷诺分解），则获得雷诺平均纳维-斯托克斯方程。如果𝐹是密度加权的集合平均，则获得Favre-平均纳维-斯托克斯方程。结果是，根据雷诺数，运动的尺度范围大大减少，这导致与解决C-NS相比，解决方案更快。然而，信息丢失了，得到的方程组需要封闭各种未封闭的项，特别是雷诺应力。9. 理想流动或势流方程：Ideal flow or potential flow equations，从EE开始。假设流体粒子无旋转（零涡度）和无流动膨胀（零散度）。结果的流场完全由几何边界决定。在现代CFD中，理想流动可以用于初始化模拟。10. 线性化可压缩欧拉方程：Linearized compressible Euler equations (LEE)，从EE开始。假设任何流动变量𝑓，如密度、速度和压力，可以表示为𝑓=𝑓0+𝑓′，其中𝑓0 是某个参考或基本状态的流动变量值，𝑓′是从这种状态的扰动或波动。此外，假设这种扰动𝑓′与某个参考值相比非常小。最后，假设𝑓0满足“它自己的”方程，如EE。LEE及其许多变体在计算气动声学中广泛使用。11. 声波或声波方程：Sound wave or acoustic wave equation，从LEE开始。忽略𝑓0和𝑓′的所有梯度，并假设参考或基本状态的马赫数非常小。结果的密度、动量和能量方程可以操作成一个压力方程，给出著名的声波方程。12. 浅水方程：Shallow water equations (SW)，考虑在墙附近的流动，其中与墙平行的长度尺度远大于与墙垂直的长度尺度。从EE开始。假设密度始终且无处不在是常数，忽略垂直于墙的速度分量，并考虑与墙平行的速度在空间上是常数。13. 边界层方程：Boundary layer equations (BL)，从可压缩（不可压缩）边界层的C-NS（I-NS）开始。假设在墙附近有薄区域，垂直于墙的空间梯度远大于平行于墙的梯度。14. 伯努利方程：Bernoulli equation，从EE开始。假设密度变化仅依赖于压力变化。见伯努利原理。15. 稳态伯努利方程：Steady Bernoulli equation，从伯努利方程开始，假设稳态流动。或从EE开始，假设流动是稳态的，并沿流线积分结果方程。16. 斯托克斯流动或蠕动流动方程：Stokes Flow或creeping flow equations，从C-NS或I-NS开始。忽略流动的惯性。这种假设在雷诺数非常低时是合理的。结果，得到的方程组是线性的，这大大简化了它们的解决。17. 二维通道流动方程：Two-dimensional channel flow equation ，考虑在两个无限平行板之间的流动。从C-NS开始。假设流动是稳态的、二维的、充分发展的（即，速度剖面沿流向方向不变）。注意，这种广泛使用的充分发展假设在某些情况下可能不充分，如某些可压缩、微通道流动，这种情况下可以被局部充分发展假设所取代。18. 一维欧拉方程或一维气体动力学方程：One-dimensional Euler equations or one-dimensional gas-dynamic equations (1D-EE)，从EE开始，假设所有流动量仅依赖于一个空间维度。19. 范诺流动方程：Fanno flow equation，考虑在具有恒定面积和绝热壁的管道内的流动。从1D-EE开始。假设稳态流动，无重力效应，并在动量守恒方程中引入经验项以恢复壁摩擦效应（在EE中被忽略）。为了封闭范诺流动方程，需要这种摩擦项的模型。这种封闭涉及问题依赖的假设。20. 瑞利流动方程：Rayleigh flow equation，考虑在具有恒定面积的管道内的流动，管道要么有非绝热壁且无体积热源，要么有绝热壁但有体积热源。从1D-EE开始。假设稳态流动，无重力效应，并在能量守恒方程中引入经验项以恢复壁热传递或热源效应（在EE中被忽略）。邀您关注▽ 纯粹CFD：软件教程、行业应用、专业理论、基础科普、研究前沿、严选培训广告▽ 只聊CFD相关的大小事，信手天成，娓娓道来来源：CFD饭圈