FDTD中频域连续波归一化

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对于FDTD仿真中各种物理量的归一化和单位问题，许多用户存在疑惑，为此，本文针对FDTD算法中频域归一化问题，介绍FDTD和varFDTD仿真软件中连续波归一化（continuous wave normalization, CW-norm）的原理。

利用FDTD和varFDTD求解器中的频域场监视器(frequency domain field monitor)，可以记录期望频率范围内的电场和磁场。这些结果可以两种形式返回：连续波归一化状态 (cwnorm) 或无归一化状态 (nonorm) ，cwnorm是软件的默认选择，也是大多数仿真场景下更好的选择。

下表总结了两种归一化方式的区别。在无归一化状态下，返回的场结果就是时域场模拟结果的傅里叶变换，表中用sim下标表示这些结果；在连续波归一化状态下，用光源脉冲的傅里叶变换对场进行归一化，从而产生系统的脉冲响应，表中用下标imp来指代这些场。

表格最后一行中，N代表FDTD区域内被光源的个数，sj(t)代表第j个光源的时域信号。

FDTD是一种时域算法，以时域函数的形式考虑电磁场量，在仿真中，系统可以被偶极子源、光束源、模式光源或外部导入光源。我们用s(t)表示时域光源脉冲：

那么s(t)的傅里叶变换为：

理想状况下s(t)是一个完美脉冲，即时域为一个dirac delta函数，这样我们就可以仅进行一次时域仿真，就得到系统整个频谱范围的频率响应，这种用短脉冲激发系统的方式具有诸多优势。

在非归一化状态下，监视器返回系统的频率响应，以角频率为参数：

在cw归一化状态下，监视器返回的则是系统的脉冲响应，脉冲响应与激发系统的光源脉冲无关，可以独立地表征系统特性，通常在大部分应用场景下都更有价值。

如果我们考虑一个具体的例子，有一个光束源注入到自由空间z=z0处，该光源信号仍是：

那么在源注入平面有如下的电场形式：

在cw归一化状态下，相当于在频率w处有一个连续波光源，返回的结果场：

使用cw归一化可以将所有模拟数据都归一化至注入源功率，消除了由源的有限脉冲长度引起的任何问题，还将所有电磁场的单位与时域相统一，能更好地满足应用需求。

来源：摩尔芯创

【Lumerical系列】无源器件-复用器件（2）

本期是Lumerical系列中无源器件专题-复用器件的第二期，主要内容为波分复用器的设计与仿真，并以典型的级联微环（MRR）型波分复用器为例进行仿真实操。首先简述了微环谐振器作为波分复用器的工作原理，然后使用Lumerical软件中的MODE模块进行了双微环级联的仿真实操，最后使用INTERCONNECT模块进行四微环级联的仿真实操。工作原理MRR是一种由环形波导构成的谐振腔结构，当光从输入端耦合进MRR后，会被限制在环形谐振腔内循环传输，对于一些特定波长的光，其在MRR中传输一周之后的相位变化量是2π的整数倍，使得该光会与输入光发生相长干涉，当光不断输入MRR后，光能在MRR中稳定分布，传输和贮存，这就是MRR的谐振态。而其他波长的光无法与输入光发生相长干涉，使其无法在MRR中稳定传输，这就是非谐振态。由相长干涉的条件可知，对于谐振态的光，其会满足下式：式中neff表示波导的有效折射率；L为环形谐振腔的长度；m为整数。传统的上下载型MRR的基本结构如图1（a）所示，它由两个直波导和一个环形谐振腔构成。在耦合区1中，假设直波导在耦合前后的电场强度的分别为 A1和A2，而环形波导中的电场分别为B1和B2。在耦合区2中，直波导两侧的电场强度分别为A4和A3，对应的环形波导中的电场分别为B4和B3。定义其耦合系数为k；透过系数为t；环形波导内的损耗系数为a；而光在环形波导中传输一周所积累的相位为φ=2πLneff/λ，其中L表示环形波导的周长。通过传输矩阵法可将MRR描述为下式：其中，B2和B3，B1和B4的关系可表示为下式：通过以上关系式计算可得直通端和下载端的传输响应分别表示为下式：图1（a）微环结构示意图；（b）传输谱图因此，上下载型MRR直通端和下载端的传输谱可表示为图1（b）。由图可知，MRR的下载端能分离出处于谐振态的波长，因此该结构具有波长选择性，只需级联多个不同环形谐振腔长度的MRR，就能实现波分复用功能。双微环级联的仿真实操通过上述分析可知，要想实现双通道的波分复用功能，就需在总线波导上级联两个谐振波长不同（即环形谐振腔周长不同）的MRR。本次使用的是Lumerical软件中MODE模块中的varFDTD求解器进行双微环级联的仿真实操。首先是构建仿真模型，其结构如图2所示。输入波导（总线波导）被设计在两个环形谐振腔之间，λ1和λ2分别为MRR1和MRR2的谐振波长，输出端口1和输出端口2分别是MRR1和MRR2的下载端。因此，当光从输入端口进入时，波长为λ1的光信号将从输出端口1输出，而波长为λ2的光信号将从输出端口2输出，这样就实现了波长的解复用。图2 双微环级联结构示意图仿真步骤：1）建立模型，包括SIO2包层和SI芯层；2）选择varFDTD求解器，设置仿真区域；3）加入光源和监视器；4）运行和优化仿真。为了使两个MRR的谐振波长不同，并且互不影响，在其耦合长度相同的条件下需改变其半径，故设置两个MRR的半径分别为5 μm和5.05 μm。当波长范围为1545-1570 nm时，仿真可得其传输谱如图3所示。结果显示λ1=1550.82 nm，而λ2=1562.02 nm。图3 双微环级联的传输谱图四微环级联的仿真实操在使用varFDTD求解器进行MRR仿真时，由于光会在环形谐振腔中不停谐振，因此会花费大量仿真时间，如果将4个MRR级联，仿真时间更是成倍增加，不利于器件的设计和优化，故本次仿真将采用INTERCONNECT模块进行仿真。该模块中有两种方法实现本次仿真，第一种是在元件库中选择Waveguide→Resonators→ Double Bus Ring Resonator，其流程如图4（a）所示，该方法是对波导的模式属性、总线波导之间功率“耦合系数”和“环形谐振腔周长”进行参数化。第二种是在元件库中选择S parameters→Optical→Optical N Port S-Parameter，其流程如图4（b）所示，该方法是先使用FDTD求解器对单个MRR进行仿真，然后导出其S参数，最后将该S参数导入INTERCONNECT中选择的元件中，不需要设置其他参数。本次仿真采用第一种设计方法。图4（a）Double Bus Ring Resonator的选择流程图；（b）Optical N Port S-Parameter的选择流程图仿真步骤：1）选择光谱分析仪以及4个Double Bus Ring Resonator ；2）设置相关参数，包括光谱分析仪的频率范围、Double Bus Ring Resonator的模式属性、耦合系数、环形谐振腔周长等参数；3）连接各个元件。将光谱仪的输出端接到第一个MRR的输入端，再将MRR的直通端连接下一个MRR的输入端，并且每个MRR的下载端都连接光谱分析仪的输入端；4）运行仿真。为了实现4个MRR的谐振波长不同，分别设置其环形谐振腔周长为30 μm、30.5 μm、31 μm和31.5 μm。将4个MRR进行级联，其结构示意图如图5所示。图5 四微环级联的结构示意图当波长范围为1548-1564 nm nm时，仿真可得其传输谱如图6所示。结果显示λ1=1553.4 nm、λ2=1555.4 nm、λ3=1557.4 nm、λ4=1559.4 nm。图6 四微环级联的传输谱图本期文章以级联微环型波分复用器为例进行了仿真实操。简单讲解了MRR的工作原理，分别用varFDTD求解器和INTERCONNECT进行了双微环级联以及四微环级联的仿真实操，下一期文章我们将进行其他类型复用器件的仿真实操，欢迎大家持续关注公众号的更新。- END -来源：摩尔芯创