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FDTD和MODE中的PML边界

PML是一种吸收边界条件，旨在以尽可能小的反射率实现入射光的吸收。具体而言，这种边界通常用在仿真区边缘，能与周围材料阻抗匹配，最大限度地减少反射，同时完全吸收仿真区内的光场。理想状况下，PML边界产生零反射，但是实际上由于基础PML方程的离散性，总会存在一定程度的反射，同时，用有限差分算法中对于PML方程的离散近似，也会带来一定程度的数值不稳定性。

本文介绍Ansys LumericalFDTD和MODE中的PML边界条件，并概述如何设置PML能够在保证最小化反射误差、消除数值不稳定性的同时，避免过多的仿真时间增加和资源消耗。

图一 PML属性设置

如图一所示是FDTD和varFDTD仿真区属性中，Boundary conditions的选项卡，对于FDTD、MODE solutions仿真软件中边界条件的设定均可在此实现，本文聚焦于其中的PML边界条件。对于FDE等求解器PML边界条件的设置也可类比参照本文内容。

1.PML类型：

拉伸坐标 PML（stretched coordinate PML）：

基于Gedney和Zhao在[2]中提出的公式，是软件推荐的默认选项。

传统的单轴各向异性PML（uniaxial anisotropic PML legacy）：

也在软件中提供，该方法在实践中应用很少。

2.PML配置：

在FDTD或varFDTD仿真区域中，用户可以设置PML边界吸收特性的所有参数（图一右侧）。软件也直接给出了设置好参数的配置组合，在大多数模拟场景下，用户只需在四种预定义的配置（标准、稳定、陡角和自定义）中选择一个，并微调层数即可。整体而言，增加PML层数会降低反射，减小PML层数则会增加反射，具体每个配置文件在设计时考虑了特定的应用场景，会在仿真中具有不同的数值表现：

标准（standard）：

标准配置文件旨在以相对较少的层数提供良好的整体吸收。PML层数的增加会显著增加仿真时间，因此建议在使用其他配置前，首先尝试此标准配置，如果仿真中不包含PML区域内的材料变化边界，则该标准配置极大概率是仿真的最佳选择。即，如果被仿真结构能够完全延伸通过PML区域，标准配置的边界条件即可达到最佳性能，但当材料变化界面穿过PML区域时，可能需要使用稳定配置。

稳定（stabilized）：

当材料边界穿过PML区域时，可能会出现数值不稳定性，通常表现为PML区域内靠近材料界面处的场振幅出现局部指数增长。通常，大多数数值不稳定问题都可以使用该稳定配置解决，但是，稳定配置要达到与标准配置相同的吸收性能，需要更多层PML，可以说稳定配置是以增加PML层数为代价，提供更高的数值稳定性。

陡角（step angle）：

陡角配置与标准配置类似，适用于PML边界与周期性边界条件相结合的情况。这种配置针对的是光以几乎平行于PML边界的方向传播的情况，能提供更强的吸收性能。在非常粗略离散化（每个波长少于十个点）的情况下，该配置的吸收特性通常低于标准配置。

自定义（custom）：

标准、稳定和陡角配置都是参数固定的PML配置，自定义配置则允许用户自定义所有PML参数值，该配置的初始值被设为与标准配置相同，如图二所示。

图二自定义PML配置

图三为不同方向设置不同PML边界条件

3.为所有方向的边界设置相同的PML参数

如图二红圈所示，用户可以选择是否对不同的边界使用不同的PML设置。取消此选项可以对笛卡尔坐标系所有方向上的边界进行PML设置，刚提到的四种配置均可选择。为不同的边界使用不同的PML设置可以更好地分配资源，显著减少仿真时间。图二中显示了3D模拟的PML设置表，其中仅需要在x min边界上使用稳定配置的PML，其余边界使用陡角配置的PML。

4.FDE与求解器中的PML设置

在FDE模拟求解器中，对于PML的设置与FDTD和varFDTD略有不同，用户可以在“高级选项”中指定控制PML边界吸收特性的参数，如图三所示。FDE求解器直接采用了拉伸坐标PML（stretched coordinate PML）公式，且没有预定义的配置，如果需要根据实际情况修改，则用户要直接对参数进行设置。

5.PML具体参数

PML边界具有有限的厚度，它们占据了仿真区域周围的有限体积，正是在这个空间内边界条件完成了对光的吸收。

layers：由于离散化的需求，PML区域被划分为多个层；
kappa, sigma, alpha：PML区域具体的吸收特性由这三个参数控制，具体定义在文献[2]中。根据定义kappa是无单位的，sigma和alpha则需以归一化的无单位值的形式，输入到PML参数设置表中。kappa、sigma和alpha都使用多项式函数在PML区域内进行分级，参数alpha有时被描述为复频移（complex frequency shift, CFS），它的主要作用是提高数值稳定性。增大alpha/sigma会使PML边界更稳定，但会降低其吸收效率，这就是稳定配置需要更多PML层数才能达到相同吸收性能的原因。要将alpha和sigma转换成SI单位的值，需要乘以自由空间介电常数的两倍，再除以仿真的时间步长；
polynomial：用来指定kappa和sigma多项式的阶数；
alpha polynomial：用来指定alpha多项式的阶数；
min layers, max layers：限制PML层的数量范围。

参考文献

[1] J. P. Berenger,Perfectly Matched Layer (PML) for Computational Electromagnetics. Morgan &Claypool Publishers, 2007.

[2] S. D. Gedneyand B. Zhao, An Auxiliary Differential Equation Formulation for theComplex-Frequency Shifted PML, IEEE Trans. on Antennas & Propagat., vol.58, no. 3, 2010.

来源：摩尔芯创

【Lumerical系列】无源器件-复用器件（2）

本期是Lumerical系列中无源器件专题-复用器件的第二期，主要内容为波分复用器的设计与仿真，并以典型的级联微环（MRR）型波分复用器为例进行仿真实操。首先简述了微环谐振器作为波分复用器的工作原理，然后使用Lumerical软件中的MODE模块进行了双微环级联的仿真实操，最后使用INTERCONNECT模块进行四微环级联的仿真实操。工作原理MRR是一种由环形波导构成的谐振腔结构，当光从输入端耦合进MRR后，会被限制在环形谐振腔内循环传输，对于一些特定波长的光，其在MRR中传输一周之后的相位变化量是2π的整数倍，使得该光会与输入光发生相长干涉，当光不断输入MRR后，光能在MRR中稳定分布，传输和贮存，这就是MRR的谐振态。而其他波长的光无法与输入光发生相长干涉，使其无法在MRR中稳定传输，这就是非谐振态。由相长干涉的条件可知，对于谐振态的光，其会满足下式：式中neff表示波导的有效折射率；L为环形谐振腔的长度；m为整数。传统的上下载型MRR的基本结构如图1（a）所示，它由两个直波导和一个环形谐振腔构成。在耦合区1中，假设直波导在耦合前后的电场强度的分别为 A1和A2，而环形波导中的电场分别为B1和B2。在耦合区2中，直波导两侧的电场强度分别为A4和A3，对应的环形波导中的电场分别为B4和B3。定义其耦合系数为k；透过系数为t；环形波导内的损耗系数为a；而光在环形波导中传输一周所积累的相位为φ=2πLneff/λ，其中L表示环形波导的周长。通过传输矩阵法可将MRR描述为下式：其中，B2和B3，B1和B4的关系可表示为下式：通过以上关系式计算可得直通端和下载端的传输响应分别表示为下式：图1（a）微环结构示意图；（b）传输谱图因此，上下载型MRR直通端和下载端的传输谱可表示为图1（b）。由图可知，MRR的下载端能分离出处于谐振态的波长，因此该结构具有波长选择性，只需级联多个不同环形谐振腔长度的MRR，就能实现波分复用功能。双微环级联的仿真实操通过上述分析可知，要想实现双通道的波分复用功能，就需在总线波导上级联两个谐振波长不同（即环形谐振腔周长不同）的MRR。本次使用的是Lumerical软件中MODE模块中的varFDTD求解器进行双微环级联的仿真实操。首先是构建仿真模型，其结构如图2所示。输入波导（总线波导）被设计在两个环形谐振腔之间，λ1和λ2分别为MRR1和MRR2的谐振波长，输出端口1和输出端口2分别是MRR1和MRR2的下载端。因此，当光从输入端口进入时，波长为λ1的光信号将从输出端口1输出，而波长为λ2的光信号将从输出端口2输出，这样就实现了波长的解复用。图2 双微环级联结构示意图仿真步骤：1）建立模型，包括SIO2包层和SI芯层；2）选择varFDTD求解器，设置仿真区域；3）加入光源和监视器；4）运行和优化仿真。为了使两个MRR的谐振波长不同，并且互不影响，在其耦合长度相同的条件下需改变其半径，故设置两个MRR的半径分别为5 μm和5.05 μm。当波长范围为1545-1570 nm时，仿真可得其传输谱如图3所示。结果显示λ1=1550.82 nm，而λ2=1562.02 nm。图3 双微环级联的传输谱图四微环级联的仿真实操在使用varFDTD求解器进行MRR仿真时，由于光会在环形谐振腔中不停谐振，因此会花费大量仿真时间，如果将4个MRR级联，仿真时间更是成倍增加，不利于器件的设计和优化，故本次仿真将采用INTERCONNECT模块进行仿真。该模块中有两种方法实现本次仿真，第一种是在元件库中选择Waveguide→Resonators→ Double Bus Ring Resonator，其流程如图4（a）所示，该方法是对波导的模式属性、总线波导之间功率“耦合系数”和“环形谐振腔周长”进行参数化。第二种是在元件库中选择S parameters→Optical→Optical N Port S-Parameter，其流程如图4（b）所示，该方法是先使用FDTD求解器对单个MRR进行仿真，然后导出其S参数，最后将该S参数导入INTERCONNECT中选择的元件中，不需要设置其他参数。本次仿真采用第一种设计方法。图4（a）Double Bus Ring Resonator的选择流程图；（b）Optical N Port S-Parameter的选择流程图仿真步骤：1）选择光谱分析仪以及4个Double Bus Ring Resonator ；2）设置相关参数，包括光谱分析仪的频率范围、Double Bus Ring Resonator的模式属性、耦合系数、环形谐振腔周长等参数；3）连接各个元件。将光谱仪的输出端接到第一个MRR的输入端，再将MRR的直通端连接下一个MRR的输入端，并且每个MRR的下载端都连接光谱分析仪的输入端；4）运行仿真。为了实现4个MRR的谐振波长不同，分别设置其环形谐振腔周长为30 μm、30.5 μm、31 μm和31.5 μm。将4个MRR进行级联，其结构示意图如图5所示。图5 四微环级联的结构示意图当波长范围为1548-1564 nm nm时，仿真可得其传输谱如图6所示。结果显示λ1=1553.4 nm、λ2=1555.4 nm、λ3=1557.4 nm、λ4=1559.4 nm。图6 四微环级联的传输谱图本期文章以级联微环型波分复用器为例进行了仿真实操。简单讲解了MRR的工作原理，分别用varFDTD求解器和INTERCONNECT进行了双微环级联以及四微环级联的仿真实操，下一期文章我们将进行其他类型复用器件的仿真实操，欢迎大家持续关注公众号的更新。- END -来源：摩尔芯创