表面压强到节点荷载的转化秘诀：三维单元理论深度剖析

题外话：因为微 信的推荐机制变动，有可能大家不会第一时间看到我的文章，请大家给我的公众 号标上⭐，以免错过好资源

问题描述

本期分享的是：三维实体单元表面承受的压强荷载如何等效为节点荷载？

假设模型某一面收到表面压强荷载，如下图所示，在程序计算时，如何处理这一边界条件是程序感兴趣的话题，将推出一个系列详细讲述该过程，本期重点在于分享理论过程。参考教材为：《结构分析的有限元法与 MATLAB 程序设计》徐荣桥

理论分析

直接求解曲面积分

假设单元边界     上作用表面压强：    ，则在此表面上各节点的等效节点荷载为：

式中曲面积分是在单元上作用分布力     的某个边界上进行的。式中     表示第     个节点的等效节点力，通过对形函数     乘以表面力矢量     在表面     上的积分得到的。

比如，在     的面上进行积分：

以上公式定义了积分区域     上的面积微分元。通过曲面上两个方向（例如局部坐标系的     和     方向）的叉积计算法向面积分元。将之代入上面的曲面积分，得到：

若在     的面上进行积分：

在实际操作时，上面的流程其实较为繁琐，需要知道作用的单元的哪一个面来确定积分变量，还需要考虑正负号。

于是本次推文的分享另一种方法来求解该类的曲面积分。

基于形函数特性求解数值积分

根据形函数的特性：不在某一面上节点形函数在这个面上的值为 0，推导出表面力只对作用面上的节点有贡献。

假设单元的某个面作用有表面压强，由     （    ）个空间节点组成，该曲面可以用参数方程写成：

式中     ,     ，    是     个节点在整体坐标系下的坐标值，    是 4-8 个节点等参单元的形函数（空间单元某个单元面，平面单元）。注：这里的形函数不是原来的空间实体单元！切勿搞混。

表面压强     在这     个节点上的等效节点荷载（第一类曲面积分）为：

分布法向力     的等效节点荷载（第二类曲面积分）：

将上式简化为：

对于上式可使用高斯积分进行计算，若单元面为 8 节点单元，可使用     的积分方案，若单元面为 4 节点单元，可使用     积分方案。

下期给大家带来该方法的数值实现部分。

觉得本篇推文对你有帮助的话，可以动动的小手一键三连（点赞➕在看➕分享）哦~