问题描述
本期分享的是：三维实体单元表面承受的压强荷载如何等效为节点荷载？
假设模型某一面收到表面压强荷载，如下图所示，在程序计算时，如何处理这一边界条件是程序感兴趣的话题，将推出一个系列详细讲述该过程，本期重点在于分享理论过程。参考教材为：《结构分析的有限元法与 MATLAB 程序设计》徐荣桥
理论分析
直接求解曲面积分
假设单元边界 上作用表面压强： ，则在此表面上各节点的等效节点荷载为：
式中曲面积分是在单元上作用分布力 的某个边界上进行的。式中 表示第 个节点的等效节点力，通过对形函数 乘以表面力矢量 在表面 上的积分得到的。
比如，在 的面上进行积分：
以上公式定义了积分区域 上的面积微分元。通过曲面上两个方向（例如局部坐标系的 和 方向）的叉积计算法向面积分元。将之代入上面的曲面积分，得到：
若在 的面上进行积分：
在实际操作时，上面的流程其实较为繁琐，需要知道作用的单元的哪一个面来确定积分变量，还需要考虑正负号。
于是本次推文的分享另一种方法来求解该类的曲面积分。
基于形函数特性求解数值积分
根据形函数的特性：不在某一面上节点形函数在这个面上的值为 0，推导出表面力只对作用面上的节点有贡献。
假设单元的某个面作用有表面压强，由 （ ）个空间节点组成，该曲面可以用参数方程写成：
式中 , ， 是 个节点在整体坐标系下的坐标值， 是 4-8 个节点等参单元的形函数（空间单元某个单元面，平面单元）。注：这里的形函数不是原来的空间实体单元！切勿搞混。
细节
这里的 个节点必须与对应于形函数的节点位置序列。这就需要我们在程序中索引到该面上的节点序列，以 Abaqus 为例，每个单元面都有对应的单元面 face,每个 face 都有各自的节点序列。
表面压强 在这 个节点上的等效节点荷载（第一类曲面积分）为：
分布法向力 的等效节点荷载（第二类曲面积分）：
将上式简化为：
对于上式可使用高斯积分进行计算，若单元面为 8 节点单元，可使用 的积分方案，若单元面为 4 节点单元，可使用 积分方案。
下期给大家带来该方法的数值实现部分。
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