如何正确理解非线性分析结果

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正如我之前所写，理解分析结果是一项艰巨的任务，并且可能导致严重的问题。在模型中发现错误比理解结果解释问题要容易得多 - 毕竟，软件会给出有用的提示。而结果是需要专业人员的深刻理解。本文我将描述稳定性路径——正确估计模型承载能力的最重要工具。今天我们将介绍基础知识，在接下来的文章中，我将在实际示例中讨论此方法的用法。

稳定路径基础知识

为了正确理解，使用模型的承载稳定性路径。需要进行更复杂的分析，其中载荷以增量形式施加到模型上，并且可以观察每个增量中模型的载荷和位移之间的关系。在我们深入探讨之前先了解3 个最重要的定义：

稳定性路径是表示模型中载荷和位移之间关系的图表。人们可以以多种形式绘制稳定路径：应在垂直轴上标记载荷，在水平轴上，应该显示变形（也可以是哪个节点/点以及什么自由度上由作者决定）——有时使用归一化变形而不是“真实”变形。稳定性路径在文献中以多种名称出现，例如：平衡路径、载荷-位移图、位移响应路径等。

稳定性路径示例

表示为r的载荷乘子是一个参数，在分析中以任何给定增量乘以所施加的载荷。通常在下标中标记分析类型。为了更清楚地解释一下，我们假设在某处有一个负载 10kN 的模型。如果我们想以 10 个增量（每个增量 1kN）施加该载荷，那么第一个增量将为 1kN，因此载荷乘数将为 0.1（因为 10kN * 0.1 = 1kN），而在第二个增量中，总载荷将为 2kN，因此载荷乘数将为 0.1（因为 10kN * 0.1 = 1kN）乘数将为 0.2，依此类推。可以在垂直轴上使用载荷乘数来代替载荷或约束力。
归一化变形（我通常表示为 Δ）是当前增量中所选 DOF（自由度）中的位移与线性分析中该 DOF 变形的比值。可以使用归一化变形来代替稳定性路径的水平轴上的变形。

稳定路径：示例 1 – 如何完成

让我们从最简单的例子开始。我们将分析一根简支梁（两端固定），中间施加一个单一的力，如下所示。材料设置为弹性材料，我们将使用几何线性分析。换句话说，我们将执行完全线性分析，但具有增量加载。这种分析一般来说没有什么意义，但却是如何制定稳定路径的一个很好的例子。

开始：乍一看，很明显中间的节点变形最大，对分析也最有意义，所以我们选择这个节点作为变形的参考节点。在垂直轴上，我们将简单地使用施加的载荷。本例中的总负载为 500kN。在每个增量下，我将显示变形模型和稳定性路径图。因为我们没有开始，所以没有变形，也没有负载——所以图是“空的”。

增量 1 ：在分析设置中，我决定将负载分为 10 个相等的增量。这意味着增量 1 为 500kN / 10 = 50kN。对于该载荷，中间的位移为 66.5 mm，因此此时的稳定路径如下所示：

增量 2 ：第二个增量增加了额外的 50kN，现在总载荷为 100kN。变形为133毫米。目前，情况是这样的：

增量 3 ：额外添加 50kN（总计 150kN）。当然，由于一切都是线性的，挠度将比第一步高 3 倍，并且稳定路径将是一条直线。

增量 7 ：让我们加快一点速度。增量 7 表示总载荷为 7 x 50kN = 350kN。位移为 66.5mx 7 = 465.5mm。

增量 10 – 完成：当然，最后，对模型施加满 500kN 的力，变形为 665mm。请注意，如果您使用线性求解器（或者您设置不希望在非线性求解器中获得中间结果），这将是您从分析中获得的唯一“绘图”。

这就是为模型构建稳定性路径的方式。在下一个示例中，我将使用几何非线性模型来展示差异。

稳定路径：示例 2 – 非线性分析

我们将使用相同的梁，但进行几何非线性计算。由于两个支撑都是固定的（没有滑动），我们预计挠度会减少。在此示例中，载荷分为 100 个增量（每个增量 5kN），但我将仅向您展示其中的一些。另外，我在图表上留下了线性稳定性路径以供参考。

增量 10 ：载荷为 50kN，位移为 47mm，因此比线性分析 (LA) 中小了近 20mm。我们可以看到，稳定性路径不再是线性的，并且与 LA 路径相比，它呈上升趋势。这告诉我们模型中存在某种硬化。

增量 40 ：载荷为 200kN，位移为 117。如果我将载荷仅分成 5 个增量，则稳定性曲线将由直线组成，但由于我使用 100，我收到的曲线非常平滑。有时只需查看稳定性路径，您就可以判断结果是否正确：如果曲线“尖锐”，则意味着增量太少，这可能会严重影响结果（我将在以后讨论这一点）。

增量 100 – 完成：这里没有什么可讨论的，直接到达终点线！施加的载荷为 500kN，最大变形为 190mm（比线性分析小 3 倍以上！）。

稳定路径：示例 3 – 实际使用

接下来是对更复杂的筒仓结构的分析。由于我希望准确，所以我将负载分为多个增量（准确地说是 1000）。如果不制作所述载荷的图表（在筒仓中施加的载荷相当复杂），就不可能写出每个增量施加了多少载荷，因此在本例的稳定性路径中，我在其中一个支撑件中使用了总反作用力。

增量40 ：这几乎是分析的开始。由于该载荷工况是轴对称的，因此仅使用对称边界条件分析壳的一部分（这种方式计算速度要快得多）。下面的结果显示了整个模型（支撑区域的特写）以及分析每个步骤的稳定性路径。

增量 60 ：模型中出现第一个屈服点。由于温度对材料的影响，屈服应力为231.8MPa；

增量 70 ：负载越来越接近模型的最大承载能力；

增量 80 ：稳定性失效正在发生，局部发生塑性；

增量590 ：分析结束。我设置的弧长方法中的变量告诉求解器现在应该退出计算。由于我设置的负载从未达到（模型在施加负载的 60% 左右承载下降），如果没有额外的“限制点”，求解器将无休止地工作！还值得注意的是，在这个模型中，我实现的负载是我想要看到的故障机制的两倍高，因此 60% 的结果实际上是一个积极的结果（这就是负载乘数派上用场的地方））

完成上述计算后，很容易看出，当反作用力等于 5300kN 时就达到了容量，并且模型中的失效后状态不稳定（稳定路径正在减小）。还很容易看出失效机制是由于塑性不稳定性造成的。这种方法有很多用途，我稍后将讨论许多其他方面。

阅读本文后您应该了解什么：

什么是稳定路径
如果有足够的数据可用，如何制定稳定路径
什么是负载乘数

最后是示例 3 中筒仓的图片：

来源：ABAQUS仿真世界

理解几何非线性分析 - 从晾衣服开始？

几何非线性在结构分析中非常重要。今天我将通过实际例子而不是理论来讨论几何非线性分析的基础知识。我们将学到什么我会用简单的实际例子解释几何非线性实际是怎么回事，不涉及复杂理论。我选择的例子在线性和非线性方法中会产生截然不同的结果。虽然很多情况下两种方法的结果几乎相同，但也有许多情况需要非线性方法，我会展示其中一些示例。从简单的事物开始：晾衣服！我喜欢简单的实际例子。谈到几何非线性，最好的例子就是晾衣绳。几何线性分析想象一下，一件湿毛衣重5kg，挂在5米长的绳子上，会产生0.0625kNm的弯矩。看起来很小，对吧？但是绳子直径只有5mm。这种截面的截面模量是0.0123cm^3。这意味着为了承受毛衣的重量（作为梁），绳子需要承受5081MPa的应力...比钢材强20倍。很难相信它具有如此巨大的强度。然而它确实可以承受...这个例子展示了典型的线性方法。也许你注意到我的例子有点作弊 - 我没有画出任何变形！实际上，很容易计算出变形。如果我的绳子是钢制的，变形会达到20.2m。想象一下这可怜的绳子要伸长多少才能变形那么多（5米长的绳子变形20米！）。这个问题让我们更理解几何非线性...这就是大变形理论的应用之处。当绳子变成非线性时你看，绳子不可能像线性方法计算的那样伸长20.2m。但它肯定会有一些伸长！这种伸长会在绳子中产生拉力。反过来，这个拉力会稳定整个系统，减少变形！在大变形情况下，假设绳子是钢制的，变形只有57mm。如果是尼龙绳，变形约为237mm，此时的力只有0.26kN（相比之下钢丝的力为1.07kN）。很容易相信绳子能够以某种方式承受相当于26kg的拉力。但是几何非线性分析是如何工作的呢？看看上面的示意图。假设我把绳子从中间剪断，有一个拉力N（就是我们刚刚计算的）把绳子往"里"拉。在绳子固定的墙上，水平方向有一个反作用力，也等于N。这两个力形成一对力，可以承受载荷产生的"力矩"。这是一个简化，但很好地描述了实际情况。你可以很容易地验证上述内容。在线性情况下，我们得到0.0625kNm的弯矩。在非线性情况下，钢丝变形57mm，拉力为1.07kN。0.057m x 1.07kN = 0.061kNm。在第二个例子中，尼龙绳变形237mm，拉力为0.26kN。0.237m x 0.26kN = 0.0616kNm。两个结果虽然不完美，但非常接近，这显示了如何思考这个问题。通过对绳子直径和载荷参数化，获得变形与拉力的响应，可以得到：随绳子直径增加，变形减小，呈非线性关系；随载荷增加，变形增大，呈非线性关系；随绳子直径增加，轴向拉力先增大后减小，呈抛物线关系；随载荷增加，轴向拉力增大，近似线性；注意！这里有个陷阱！有人可能会得出结论，认为几何非线性是积极的，"忽视"它就是安全的。不幸的是，事实并非如此：想验证这一点吗？试试用同样的绳子，但换个晾衣服架。不要把两端都固定在墙上，而是把一端简单地放在桌子上。对于典型的梁来说，这不是问题（杆子仍然承担垂直力）。但我们都凭直觉知道绳子会怎么样，对吧？这就是最终证明两个支撑点都存在水平拉力的证据！几何非线性分析的本质几何非线性既不是积极的也不是消极的...它就是客观存在的！线性和几何非线性分析的区别想象你在两根柱子之间挂了一根晾衣绳。从绳子的角度来看，几何线性是"不好的。这是因为你在线性设计中估算的力会大大高估实际情况。另一方面，对于柱子来说，线性方法实际上是不保守的。它考虑了从绳子传递的垂直载荷，但完全忽略了水平力。这意味着柱子中不会有弯曲，这在线性静力分析中会导致不保守的设计。如你所见，几何非线性"有利于"绳子但"不利于"柱子。不幸的是，你不能选择是否使用它...它总是存在的！这里需要补充一点。假设按照线性静力分析，你设计绳子来承受计算出的弯矩（在线性情况下）。那么我们就不再有"绳子"，而是有了"梁"。这种情况会导致变形小得多，进而柱子上的水平力会小得多。也许甚至可以忽略不计或根本不存在。这就是为什么静力设计是可行的。如果模型的变形很小，几何非线性的影响也会很小。唯一的问题是，有时很难猜测变形是否"小到足以"忽略几何非线性。在这个例子中，我们还应该考虑另一件事。如果柱子在垂直方向上承受很大的载荷，非线性方法中看到的变形会在柱子中引入偏心。这会导致额外的弯曲（通常称为二阶弯曲），在某些情况下可能非常重要。这也是几何非线性效应。总结几何非线性分析是结构设计中非常有用的工具。如果你遇到在承载过程中变形很大的元素，这是最佳方法。如果线性方法在你的情况下是正确的，你会从几何非线性分析中得到相同的结果。然而，如果情况应该使用这种非线性，那么这是获得正确解决方案的唯一选择。它在处理次要弯曲方面也很出色，模型的变形会导致垂直于变形方向的载荷，引起额外的弯曲。在结构设计中，关于线性/非线性屈曲也是一个有趣的讨论，这与分析中的几何线性/非线性密切相关。来源：ABAQUS仿真世界