MeshFree|带你揭开隐式边界法面纱

    midas MeshFree计算原理采用的是隐式边界法IBM,(Implicit boundary method)，它不需要进行模型的简化和网格的划分 只需导入几何模型、添加荷载和边界条件以及后处理三个分析步骤降低了工程师的使用难度可以大大地缩短产品开发周期，提高生产效率。

技术原理

隐式边界法示意图

首先在分析对象上生成结构化网格，这些单元可以分为三大类

1.是完全在分析对象内部,如图粉红色线框部分称为内部单元

2.是在分析对象边界上的,称为边界单元

边界单元又可以分两种

1)含有边界条件的,如图蓝色线框部分

2)不含边界条件的,如图绿色线框部分

3.是完全在分析对象外部,叫外部单元,如图紫色线框部分,不作计算考虑

D函数的构造

构造位移函数如下

式中是边界值函数，D是Dirichlet函数，N 是形函数，为网格上分片插值/逼近的网格变量，是节点强制位移。这样构造函数的目的是为了满足边界条件。D 函数的表达式如下

式中D 函数里面的 ϕ 函数是用来描述边界的，是隐式方程。当 ϕ≤0时，D函数的值为0，表示在边界上或分析对象外面；当 0≤ϕ≤δ时 δ 为较小的常数，一般或者更小表示在靠近边界的窄带范围内；ϕ≥δ时，表示在分析对象内部。

虚功方程：

上式中，{σ}表示应力张量，{t}表示面向量，{b} 表示体力向量

代入下式

得出

对于内部单元，因为D函数的值为1，得到的刚度矩阵表达式如下

式中与传统有限元法计算一致。因此，对于内部单元，采用有限元方法

  对于不含有边界条件的边界单元，D函数的值也为1，这类单元被分为有材料和无材料两部分，通过调整高斯积分点的权重系数和高斯积分点的位置来实现单元刚度矩阵的计算。因而刚度矩阵的形式上式一致。

对于含有边界条件的边界单元，位移表达式中含有D函数，所以应变矩阵中含有D函数的导数。因为δ的值很小，所以D函数及其导数对刚度矩阵的影响不可忽略。此时，刚度矩阵的表达式如下：

对上式中的每一项进行积分，并相加得到含有边界条件的边界单元刚度矩阵

    计算每个单元的刚度矩阵以及荷载向量，并进行组装，最后求解线性代数方程组得到结果。从上面大致的推导过程可以看出，MeshFree所采用的方法与有限单元法是很类似的，所以它的计算精度是有保障的。

边界值函数 的构造

   边界值函数的作用是使构造的位移函数满足强制位移，用形函数来构造位移函数，能够保证解结构的完备性要求。

上式中，是单元的形函数，是单元第个节点的强制位移。

  在结构的边界 上施加强制位移 需要在边界  经过的所有单元节点上施加强制位移强制位移，其它不相关的节点施加强制位移0