【经典教材翻译】20-瞬态的气体流动

不稳定气体流动是气体动力学中最专业的主题之一。已经详细研究了可压缩流动的许多方面，包括一维流动、等熵流动、激波和二维超音速流动。此外，还有许多流动是不稳定的，例如在冲击管、爆炸和声学中。

不稳定流动意味着流动在流动中的点随时间变化的特性。这些流动需要额外考虑由于流动特性变化率。在许多情况下，不可能得到封闭形式的解析解，需要使用CFD等数值工具。在本节中，将涵盖基本物理的理解，因此流动被限制在一维变化。还需要几个简化假设才能得到封闭形式的解。

• 流动通常是无粘的。激波是奇异性的线，这里假设被打破。

• 流动是绝热的。不考虑系统内外的热传递。温度变化只会由于气体内部状态变化而发生。

• 气体是完美的。

• 流动是一维的，因此没有面积变化。即 dA=0。

移动正常激波的产生

在前一节中展示了活塞-气缸装置中激波的形成。气缸内充满静止的气体。在 t=0 时，活塞以高速向右推动（图59）。如果活塞速度足够高，产生的压缩波将合并并形成向右移动的激波。

激波的速度将是 W，而活塞的速度是 Up。激波的移动速度比气体中的局部声速快，并且比活塞快。被活塞和激波夹住的气体也将以与活塞相同的速度移动。这被称为激波诱导运动Shock Induced Motion。

图59：由活塞运动产生的不稳定激波

激波和活塞的运动可以通过在 x-t 图中绘制位置与时间的关系来表示。由于激波和活塞以恒定速度移动，它们在 x-t 图中的路径将是直线。该图还可以用于追踪任何特定粒子的路径。如果一个粒子在 x=x₀ 的位置在 t=0 的时间，则它将保持静止，直到被激波撞击。在撞击时 t=t₀，粒子开始以速度 U_p 移动，其路径与活塞平行。

图60：活塞诱导激波运动的 x-t 图

激波速度通常以激波马赫数 M_s 表示，定义为 M_s=W/a₁，其中 a₁ 是激波前气体中的声速，即状态（1）的气体。

激波运动始终是超音速的，M_s>1。

图61：移动波的参考系变化

控制这种流动的方程是：

连续性方程可以按如下方式排列：

将此代入动量方程并简化得到：

或者

特定焓 h = e + p/ρ，因此将此和上述关系代入能量方程得到：

或者以比容表示：

这个结果被称为Hugoniot 方程，无论激波是移动还是静止，都具有相同的形式。

如果现在假设气体是完美气体，即 e = c_vT，则在上述表达式的操作后，可以找到温度、压力和密度变化的关系。

通过以激波马赫数表示这些方程，可以获得更便捷的形式。

激波的速度将是：

激波后气体的粒子速度将是：

当

对于空气，γ=1.4，诱导流动的最大马赫数是1.89。因此，激波后的流动可以从亚音速到超音速，这取决于激波的强度。

然而，在考虑停滞条件时存在差异。

对于稳定流动的正常激波，停滞温度通过激波波不变，对于不稳定流动则不是这样。

事件的顺序如图63所示。入射激波在 t=t₁ 时朝墙面移动，并在 t=t₂ 时撞击墙面。然后反射并以速度 W_R 向左移动。静止的墙面会使流动停止，因此反射波和墙面之间的状态（3）的气体是静止的。反射激波对流动的影响与初始移动激波相反。移动气体（（2））的动能被转化为内部能量（（3））。其效果是在区域（（3））产生高温和高压。

反射激波的 x-t 图如图63所示。位于 x₁ 的流体粒子将保持静止，直到入射激波到达该位置，然后它将获得速度 u'_p。当反射激波撞击粒子下游位置时，这种运动将停止。

图62：移动激波的反射

图63：反射激波的 x-t 图

图64：反射激波的参考系变化

在这种情况下，

根据定义，

通过代入和重新排列上述方程，并使用马赫数定义，

因此，反射激波马赫数 M_R 是入射激波和气体比热比（γ）的函数。

在极限情况下 M_s=1，则 M_R=1。

当 M_s→∞ 时，则 。

对于大的 M_s 值，

压力和温度在反射激波后达到非常高的值。

当活塞向右移动时，气缸内的气体膨胀，其压力降低。这通过一系列膨胀波发生。与激波压缩情况不同，每个膨胀波是在比前一时刻更低的温度和压力的介质中产生的，因此波速更小。因此，每个后续波的传播速度都比前一个慢。没有波的合并，而是它们分开移动。

图65：不稳定膨胀

图66 显示了 x-t 图上的这个过程。气体膨胀发生在前导波（头波）和最终波（尾波）之间。头波进入静止介质并启动运动。随后的波增加气体运动，最终的尾波是完全膨胀气体的波，使其以与活塞相同的速度 U_p 移动。

图66：膨胀波系统的 x-t 图